さいころを$n$回($n \geqq 2$)投げ，$k$回目$\; (1 \leqq k \leqq n)$に出る目を$X_k$とする．

(1)積$X_1X_2$が18以下である確率を求めよ．
(2)積$X_1X_2\cdots X_n$が偶数である確率を求めよ．
(3)積$X_1X_2\cdots X_n$が4の倍数である確率を求めよ．
(4)積$X_1X_2\cdots X_n$を3で割ったときの余りが1である確率を求めよ．

$1$から$n$までの番号をつけた$n$枚のカードがある．次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数で$n \geqq 5$とする．

(1)$n=5$とする．$5$枚のカードから同時に$2$枚を取り出すとき，取り出した番号の和の期待値を求めよ．
(2)$n$を偶数とする．$n$枚のカードから同時に$k$枚を取り出すとき，取り出した番号の積が偶数である確率を$n$と$k$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 2 \leqq k \leqq \frac{n}{2}$とする．
(3)$n$を偶数とする．$n$枚のカードから同時に$3$枚を取り出すとき，取り出した番号の和が偶数である確率を求めよ．

数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1}-\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \right\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．次の各問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2)すべての自然数$n$に対して，次の漸化式が成り立つように実数$p,\ q$を定めよ．
\[ a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n \]
(3)$a_n$が奇数なら$a_{n+3}$も奇数となり，$a_n$が偶数なら$a_{n+3}$も偶数となることを示せ．

次の問に答えよ．

(1)$4$個の数字$2,\ 4,\ 9,\ 12$から重複を許して$4$個選ぶとき，選んだ$4$個の数の平均が$8$になる確率は$[カ]$である．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人が$1$つのサイコロを$1$回ずつ交互に投げる．$\mathrm{A}$から始めて$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の順で$1$人$2$回，$2$人あわせて$4$回投げるものとする．

(3)先に$2$回偶数を出した人を勝ちとするとき，$\mathrm{B}$が勝つ確率は$[キ]$である．
(4)先に$2$回$1$の目を出した人を勝ちとするとき，$\mathrm{B}$が勝つ確率は$[ク]$である．

金貨と銀貨が$1$枚ずつある．これらを同時に$1$回投げる試行を行ったとき，金貨が裏ならば$0$点，金貨が表で銀貨が裏ならば$1$点，金貨が表で銀貨も表ならば$2$点が与えられるとする．この試行を$5$回繰り返した後に得られる点数を$X$とする．

(1)$X=1$となる確率を求めよ．
(2)$X=3$となる確率を求めよ．
(3)$X$が偶数となる確率を求めよ．ただし，$0$は偶数とする．

空欄$[　]$に当てはまるものを入れよ．

(1)$5$個の数字$0$，$1$，$2$，$3$，$4$を並べて$5$桁の整数を作る．小さい順にこれらの整数を並べたとき，$57$番目の整数は$\fbox{\footnotesize \phantom{a}アイウエオ\phantom{a}}$である．また，偶数である整数は$[カキ]$個あり，$4$の倍数である整数は$[クケ]$個ある．
(2)次の連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_xy+2 \log_y x=3 \\
\log_x(y^2+xy)=2
\end{array} \right. \]
の解は$\displaystyle x=\frac{-[コ]+\sqrt{[サ]}}{[シ]}$，$\displaystyle y=\frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$である．
(3)自然数$1,\ 2,\ \cdots,\ n$の中から異なる二つの数を選んで積を作る．このような積全ての和を$S_n$とおく．ただし，$S_1=0$とする．$S_n$と$S_{n-1}$の間には漸化式
\[ S_n=S_{n-1}+n \cdot \frac{[タ]}{[チ]} \]
が成り立つ．これを使って，$S_n$を求めると
\[ S_n=\frac{1}{[ツテ]} \cdot n(n+1)([ト]) \]
となる．

次の空欄$[ア]$から$[キ]$に当てはまるものを答えよ．ただし，自然数とは$1$以上の整数のことである．

行列$A,\ B,\ E$を$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{rr}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．

$M_0=E$とし，さいころをふって偶数が出れば$A$を左からかけ，奇数が出れば$B$を左からかける操作を$n$回繰り返すことにより行列$M_n$を定める．つまり，
\begin{itemize}
$n$回目に偶数が出たら$M_n=AM_{n-1}$，
$n$回目に奇数が出たら$M_n=BM_{n-1}$
\end{itemize}
と順々に$M_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を定める．$M_n=A$となる確率を$p_n$とする．

(1)$p_1=[ア]$である．
(2)$A^a=E$をみたす最小の自然数$a$は$[イ]$である．$B^b=E$をみたす最小の自然数$b$は$[ウ]$である．$BA=AB^c$をみたす最小の自然数$c$は$[エ]$である．
(3)$M_0,\ M_1,\ M_2,\ \cdots$の中で相異なる行列は最大$[オ]$個である．
(4)$n$が偶数のときは$p_n=[カ]$であり，$n$が$3$以上の奇数のときは$p_n=[キ]$である．

次の空欄ア～ケに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$(x-2y)^8$の展開式における$x^5y^3$の係数は[ア]である．
(2)$\displaystyle \int_0^2 (x^2-ax+2)\, dx=0$の等式を満たす定数$a$の値は[イ]である．
(3)$1$から$200$までの整数で，$3$および$7$のいずれでも割りきれない数の個数は[ウ]個である．
(4)方程式$5x+3y+z=15$を満たす自然数$x,\ y,\ z$の組の個数は[エ]個である．
(5)原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は，サイコロを振って偶数の目が出るとその目の数に$+3$をかけた数だけ移動し，奇数の目が出るとその目の数に$-2$をかけた数だけ移動する．このサイコロを$1$回振るときの点$\mathrm{P}$の数直線上の位置の期待値は[オ]である．
(6)$a=\log_2 5,\ b=\log_2 9$とおく．$\log_4 150$を$a,\ b$を用いて表すと[カ]である．
(7)複素数$z$が$\displaystyle z=\frac{a}{1-3i}+\frac{bi}{1+3i}$で与えられたとき，$z=4i$となるような実数$a,\ b$を求めると，$a=[キ],\ b=[ク]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(8)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に長さが等しいベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2,\ 6)$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は[ケ]である．ただし，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$2$より小さいとする．

大小$2$つのサイコロを同時に投げる試行について考える．出た目の積が偶数になる場合が$m$通り，出た目の積が$4$の倍数になる場合が$n$通りであるとする．$\displaystyle \frac{m-n}{6}$の値を求めよ．

$n$は$2$以上の整数とする．$1$が書かれたカードが$1$枚，$2$が書かれたカードが$1$枚，$\cdots$，$2n+1$が書かれたカードが$1$枚の全部で$2n+1$枚のカードが袋の中に入っている．この袋から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，次の問いに答えよ．

(1)取り出した$2$枚のカードに書かれた整数が，両方とも奇数である確率を$n$を用いて表せ．
(2)取り出した$2$枚のカードに書かれた整数の和が，偶数である確率を$n$を用いて表せ．
(3)取り出した$2$枚のカードに書かれた整数の和が，$7$以上の奇数である確率を$n$を用いて表せ．