\begin{mawarikomi}{45mm}{
（図は省略）
}
右図に示す$8$つの領域にわかれた円を塗り分ける．そのさい各領域には$1$つの色を塗るものとし，境界を共有する隣り合った領域には互いに異なる色を塗る．ただし，円を${120}^\circ$の倍数の角度で回転させて一致する塗り方はすべて同じとみなす．次の問いに答えよ．

(1)異なる$8$色を用いた塗り方は何通りあるか．
(2)異なる$7$色を用いた塗り方は何通りあるか．
(3)異なる$6$色を用いた塗り方は何通りあるか．

\end{mawarikomi}

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^1 \log (2x+1) \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx=[ロ]$

(iii) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin 2x| \, dx=[ハ]$

(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \right)=[ニ] \]
(3)方程式$\displaystyle \log_2 (x-10)=3+\log_2 \frac{3}{x}$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x<2\pi$において，$-\sin x+\sqrt{3} \cos x$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)以下の文章に「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち最も適するものを入れよ．ただし，$n$は自然数とする．

(i) $n$が$6$の倍数であることは，$n$が$3$の倍数であるための$[チ]$．
(ii) $n$が奇数であることは，$n^2$が奇数であるための$[リ]$．

自然数の列を区切って，次のように群に分ける．第$1$群に入る項の個数は$1$個である．また，第$n+1$群に入る項の個数は第$n$群の最後の項と同じ数とする．ただし，$n$は自然数である．また，群に入る項が$1$個の場合は，その数が最初の項でありかつ最後の項であるとする．
\[ |\ 1 \ |\ 2 \ |\ 3,\ 4 \ |\ 5,\ 6,\ 7,\ 8 \ |\ 9,\cdots \]
第$n$群の最後の項を$b_n$とおき，第$n$群に入る項の個数を$c_n$とおく．以下の問題に答えよ．

(1)項$b_3,\ b_4,\ b_5$を求めよ．また，項$b_n$を$n$を用いて表せ．
(2)項数$c_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$1000$は第何群の第何項目であるかを求めよ．
(4)$n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群の最初の項は$3$の倍数であることを示せ．
(5)$n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群または第$n+1$群に含まれる項のうち$3$の倍数である項の個数を$n$を用いて表せ．

$3$以上の奇数$n$に対して，$a_n$と$b_n$を次のように定める．
\[ a_n=\frac{1}{6} \sum_{k=1}^{n-1} (k-1)k(k+1),\quad b_n=\frac{n^2-1}{8} \]

(1)$a_n$と$b_n$はどちらも整数であることを示せ．
(2)$a_n-b_n$は$4$の倍数であることを示せ．

$p$は奇数である素数とし，$N=(p+1)(p+3)(p+5)$とおく．

(1)$N$は$48$の倍数であることを示せ．
(2)$N$が$144$の倍数になるような$p$の値を，小さい順に$5$つ求めよ．

袋の中に，赤玉が$3$個，白玉が$7$個が入っている．袋から玉を無作為に$1$つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行を$N$回繰り返したときに，赤玉を$A$回（ただし$0 \leqq A \leqq N$）取り出す確率を$p(N,\ A)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．

(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．

(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．

$1$次関数$f_n(x)=a_nx+b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は以下の$2$つの条件を満たすとする．

(i) $f_1(x)=x$
(ii) $f_{n+1}(x)$は整式$\displaystyle P_n(x)=\int_1^x 6tf_n(t) \, dt$を$x^2+x$で割ったときの余りに等しい．

以下の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 1$のとき，$a_{n+1}$，$b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$|a_n|$と$|b_n|$は偶数であることを示せ．
(3)$n \geqq 2$のとき，$|a_n|$と$|b_n|$は$3$の倍数ではないことを示せ．

$\mathrm{A}$の箱には$1$から$20$までの整数が$1$つずつ書かれた$20$枚のカードが入っている．$\mathrm{B}$の箱には$1$から$30$までの整数が$1$つずつ書かれた$30$枚のカードが入っている．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の箱から$1$枚ずつカードを取り出し，取り出した$2$枚のカードに書かれた整数の和を$X$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$X$が$2$の倍数となる確率を求めよ．
(2)$X$が$2$の倍数であるが$5$の倍数でない確率を求めよ．
(3)$X$が$5$の倍数となる確率を求めよ．
(4)$X$が$2$の倍数にも$5$の倍数にもならない確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$xy+y^2+xz+yz$を因数分解せよ．
(2)$a,\ b,\ c (a<b<c)$は連続した自然数とする．このとき
\[ ab+b^2+ac+bc \]
を$4$で割った余りが$3$であることを示せ．
(3)$a,\ b,\ c (a<b<c)$は連続した自然数とする．このとき
\[ a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+2abc \]
は$6$の倍数であることを示せ．

次の各問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．