$p$を素数とするとき，以下の命題を証明しなさい．

(1)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a$は$p$の倍数である．
(2)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a,\ b,\ c$はどれも$p$の倍数である．
(3)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a=b=c=0$である．
(4)$x,\ y,\ z$を有理数とするとき，$x^3+py^3+p^2z^3-p^3xyz=0$ならば，$x=y=z=0$である．

次の問いに答えなさい．

(1)分母と分子が整数である有理数全体の集合を$Q$とおく．さらに$2$以上$4$以下で分母が$15$である$Q$の部分集合を$U$とおく．次の問いに答えなさい．

(i) 分子が$3$の倍数である$U$の要素の個数$N_1$と分子が$5$の倍数である$U$の要素の個数$N_2$を求めなさい．

$N_1=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}$ \quad $N_2=\mkakko{$\mathrm{c}$}$

(ii) $U$の要素の中で，既約分数の個数を$N_3$とする．$N_3$を求めなさい．

$N_3=\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}$


(2)三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{B}={90}^\circ$とする．直線$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AP}=\mathrm{AC}$を満たす点$\mathrm{P}$をとり，$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とおく．次の問いに答えなさい．

(i) $\mathrm{BA}>\mathrm{BP}$のとき，$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{f}$}+\mkakko{$\mathrm{g}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{h}$}}$である．
(ii) $\mathrm{BA}<\mathrm{BP}$のとき，$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{i}$}+\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{l}$}}$である．

正$n$面体の各面に$1$から$n$の数字を$1$つずつ書き，$n$面のさいころ（$n$面ダイス）を作る．ただし回転させて一致するものは同じ$n$面ダイスとみなす．

(1)$n$は$5$つの値をとる．それらの和は$[ア]$である．
(2)数字の書き方は$n=4$のとき$[イ]$通り，$n=6$のとき$[ウ]$通り，$n=8$のとき$[エ]$通り存在する．
(3)$n$面ダイスのそれぞれの目の出る確率は$\displaystyle \frac{1}{n}$とする．

(i) $4$面ダイスと$8$面ダイスを投げて，出た目の積が$4$の倍数となる確率は$[オ]$である．
(ii) $4$面ダイスと$6$面ダイスと$8$面ダイスを投げて，出た目の積が$100$以上となる確率は$[カ]$である．

$x,\ y$を整数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$x^2+y^2$が$3$で割り切れるとき，$x$と$y$はともに$3$の倍数であることを示せ．
(2)$x^2+y^2$が$27$で割り切れるとき，$x$と$y$はともに$9$の倍数であることを示せ．
(3)$n$を正の整数とする．$x^2+y^2$が$3^{2n-1}$で割り切れるとき，$x$と$y$はともに$3^n$の倍数であることを示せ．

$4$個のさいころを同時に投げて出た目をそれぞれ$A,\ B,\ C,\ D$で表すとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A+B+C+D$が偶数である確率を求めよ．
(2)$AB+CD$が偶数である確率を求めよ．
(3)$ABC+BCD$が$5$の倍数である確率を求めよ．
(4)$ABCD$が$10$の倍数である確率を求めよ．

$p,\ q,\ r$を整数とし，数列
\[ a_n=pn^3+qn^2+rn \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を考える．以下の問いに答えなさい．

(1)$p+r=q=0$のとき，すべての自然数$n$に対し$a_n$は$6$の倍数であることを示しなさい．
(2)$q$が$3$の倍数でないとき，$a_2-2a_1$は$6$の倍数ではないことを示しなさい．
(3)$a_1$と$a_2$がともに$6$の倍数であれば，すべての自然数$n$に対し$a_n$は$6$の倍数であることを示しなさい．

$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$の数字が書いてある$7$個の石がある．このとき次の問いに答えなさい．

(1)これらの石から$3$個の石を選んで並べて，$3$桁の整数を作るとき$5$の倍数は何個あるか答えなさい．
(2)$7$個の石を円周上に並べるとき，$0$の両端に$1,\ 2$が並ぶ並べ方は何通りあるか答えなさい．
(3)$7$個の石を$1$列に並べるとき，$0,\ 1,\ 2$がどれも隣り合わない並べ方は何通りあるか答えなさい．

整数$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から三つの整数を重複なく選び，それを並べて$3$桁の整数を作る．次の問いに答えよ．

(1)このような整数は何個あるか．
(2)このような整数をすべて足し合わせるといくらになるか．
(3)このような整数のうち，$2$の倍数は何個あるか．
(4)このような整数のうち，$3$の倍数は何個あるか．
(5)このような整数を重ねて$6$桁の整数を作る．例えば，$215$を重ねて$215215$とする．このようにしてできた$6$桁の整数は$7$の倍数であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)大中小$3$つのさいころを投げるとき，出る$3$つの目の積が偶数となる場合は何通りあるか．
(2)$1$から$25$までの整数が$1$つずつ書かれた$25$枚のカードがある．以下の問いに答えよ．

(i) $2$枚のカードをもとに戻さず順に取り出すとき，$2$枚目が$5$の倍数になる確率を求めよ．
(ii) $2$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$2$枚のカードの整数の和が$5$の倍数になる確率を求めよ．

次の各問に答えよ．なお，整数$a,\ b,\ c$について，$a=bc$と表されるとき，$a$は$b$の倍数であるという．

(1)$x$は実数とする．不等式$x^4-x^2-20<0$を解け．
(2)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

$m$は奇数$\Longrightarrow m^4-m^2-20$は$4$の倍数

(3)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

$m^4-m^2-20$は$4$の倍数$\Longrightarrow m$は奇数