「倍数」について
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国立 室蘭工業大学 2016年 第3問$a,\ b,\ c,\ m$を整数とする．
(1)$a-b$と$b-c$がともに$m$の倍数ならば，$a-c$も$m$の倍数であることを示せ．
(2)等式
\[ a^{n+1}-b^{n+1}=a^n(a-b)+b(a^n-b^n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を利用して，すべての自然数$n$に対して$a^n-b^n$は$a-b$の倍数であることを，数学的帰納法により示せ．
(3)$2016$を素因数分解せよ．また，$2^{2016}$を$127$で割った余りを求めよ．
(1)$a-b$と$b-c$がともに$m$の倍数ならば，$a-c$も$m$の倍数であることを示せ．
(2)等式
\[ a^{n+1}-b^{n+1}=a^n(a-b)+b(a^n-b^n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を利用して，すべての自然数$n$に対して$a^n-b^n$は$a-b$の倍数であることを，数学的帰納法により示せ．
(3)$2016$を素因数分解せよ．また，$2^{2016}$を$127$で割った余りを求めよ．
国立 愛知教育大学 2016年 第2問すべての自然数$n$について，$3^n-2n+3$は$4$の倍数である．このことを，数学的帰納法を用いて示せ．
国立 愛知教育大学 2016年 第5問すべての自然数$n$について，$3^{3n+1}+7^{2n-1}$は$11$の倍数である．このことを，数学的帰納法を用いて示せ．
国立 広島大学 2016年 第5問数列
\[ x_n=2^n \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
を考える．この数列は$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128,\ 256,\ \cdots$であるが，各項の下$1$桁をみると，$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ \cdots$となっており，$2$から循環が始まり循環の周期は$4$である．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{x_n\}$の各項の下$2$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$1$桁の数に対しては$0$を補って下$2$桁とみなすことにする．たとえば，$2$の下$2$桁は$02$とする．
(2)$4$の倍数で，$25$で割って$1$余る$2$桁の自然数$A$を求めよ．
(3)$8$の倍数で，$125$で割って$1$余る$3$桁の自然数$B$を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$の各項の下$3$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$2^m$を$125$で割って$1$余るような最小の自然数$m$が$100$であることを用いてもよい．
\[ x_n=2^n \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
を考える．この数列は$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128,\ 256,\ \cdots$であるが，各項の下$1$桁をみると，$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ \cdots$となっており，$2$から循環が始まり循環の周期は$4$である．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{x_n\}$の各項の下$2$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$1$桁の数に対しては$0$を補って下$2$桁とみなすことにする．たとえば，$2$の下$2$桁は$02$とする．
(2)$4$の倍数で，$25$で割って$1$余る$2$桁の自然数$A$を求めよ．
(3)$8$の倍数で，$125$で割って$1$余る$3$桁の自然数$B$を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$の各項の下$3$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$2^m$を$125$で割って$1$余るような最小の自然数$m$が$100$であることを用いてもよい．
国立 滋賀大学 2016年 第3問$6$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$から異なる$5$個の数字を並べて$5$桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．
(1)$2$の倍数の個数と$3$の倍数の個数をそれぞれ求めよ．
(2)$6$の倍数の個数を求めよ．
(3)$5$の倍数で大きい方から$50$番目の整数を求めよ．
(4)$30$と互いに素である整数の個数を求めよ．
(1)$2$の倍数の個数と$3$の倍数の個数をそれぞれ求めよ．
(2)$6$の倍数の個数を求めよ．
(3)$5$の倍数で大きい方から$50$番目の整数を求めよ．
(4)$30$と互いに素である整数の個数を求めよ．
国立 宮城教育大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)整数$x,\ y$に対して$11x+7y$が$77$の倍数ならば，$x$は$7$の倍数であり$y$は$11$の倍数であることを示せ．
(2)整数$x,\ y$が次の$3$つの条件
\[ \sin \left( \frac{\pi}{7}x+\frac{\pi}{11}y \right)=0,\quad 10<x<34,\quad 10<y<30 \]
を満たすとき，$|x-y|$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(1)整数$x,\ y$に対して$11x+7y$が$77$の倍数ならば，$x$は$7$の倍数であり$y$は$11$の倍数であることを示せ．
(2)整数$x,\ y$が次の$3$つの条件
\[ \sin \left( \frac{\pi}{7}x+\frac{\pi}{11}y \right)=0,\quad 10<x<34,\quad 10<y<30 \]
を満たすとき，$|x-y|$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
国立 鳥取大学 2016年 第1問数列$\{a_n\}$を以下のように定める．
\[ 1^2,\ 1^2+3^2,\ 1^2+3^2+5^2,\ \cdots,\ 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2,\ \cdots \]
また，数列$\{b_n\}$を以下のように定める．
\[ 2^2,\ 2^2+4^2,\ 2^2+4^2+6^2,\ \cdots,\ 2^2+4^2+6^2+\cdots +(2n)^2,\ \cdots \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき，$c_n$が$6$の倍数となるための$n$の条件を求めよ．
\[ 1^2,\ 1^2+3^2,\ 1^2+3^2+5^2,\ \cdots,\ 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2,\ \cdots \]
また，数列$\{b_n\}$を以下のように定める．
\[ 2^2,\ 2^2+4^2,\ 2^2+4^2+6^2,\ \cdots,\ 2^2+4^2+6^2+\cdots +(2n)^2,\ \cdots \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき，$c_n$が$6$の倍数となるための$n$の条件を求めよ．
国立 高知大学 2016年 第3問$100$から$200$までの整数のうち，次の数の和を求めよ．
(1)$4$の倍数
(2)$5$の倍数
(3)$7$の倍数
(4)$4$または$5$の倍数
(5)$4$または$5$または$7$の倍数
(1)$4$の倍数
(2)$5$の倍数
(3)$7$の倍数
(4)$4$または$5$の倍数
(5)$4$または$5$または$7$の倍数
国立 奈良女子大学 2016年 第3問$n$を正の整数とする．$1$から$6n$までの番号がつけられた$6n$枚のカードから$2$枚を同時に選び，選んだ$2$枚の番号の積を$X$とする．$X$が$3$の倍数となる確率を$P_n$，$X$が$6$の倍数となる確率を$Q_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$P_1$，$Q_1$をそれぞれ求めよ．
(2)$P_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$Q_n$を$n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n$をそれぞれ求めよ．
(1)$P_1$，$Q_1$をそれぞれ求めよ．
(2)$P_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$Q_n$を$n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n$をそれぞれ求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第5問以下の問いに答えなさい．
(1)$x$を自然数とする．このとき，$x^2$を$4$で割ったときの余りは，$x$が偶数のときは$0$であり，$x$が奇数のときは$1$であることを証明しなさい．
(2)自然数の組$(x,\ y)$について，$5x^2+y^2$が$4$の倍数ならば，$x,\ y$はともに偶数であることを証明しなさい．
(3)自然数の組$(x,\ y)$で$5x^2+y^2=2016$を満たすものをすべて求めなさい．
(1)$x$を自然数とする．このとき，$x^2$を$4$で割ったときの余りは，$x$が偶数のときは$0$であり，$x$が奇数のときは$1$であることを証明しなさい．
(2)自然数の組$(x,\ y)$について，$5x^2+y^2$が$4$の倍数ならば，$x,\ y$はともに偶数であることを証明しなさい．
(3)自然数の組$(x,\ y)$で$5x^2+y^2=2016$を満たすものをすべて求めなさい．