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国立 防衛医科大学校 2016年 第2問$m$個の玉を$n$個の箱に入れる作業を考える（$1 \leqq m \leqq n$）．各玉をどの箱に入れるかはランダム，すなわち，すべての箱は$\displaystyle \frac{1}{n}$の確率で選ばれるものとし，各々の玉を入れる作業は独立であるとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)すべての玉が別々の箱に入る確率はいくらか．
(2)$m=3$のとき，$2$個の箱にのみ玉が入る確率はいくらか．
(3)$m-k$個の箱にのみ玉が入る確率を$P_{m,k}(n)$とする．ここで，$m \geqq 2$，$1 \leqq k \leqq m-1$である．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_{m,k}(n)$はいくらか．
(1)すべての玉が別々の箱に入る確率はいくらか．
(2)$m=3$のとき，$2$個の箱にのみ玉が入る確率はいくらか．
(3)$m-k$個の箱にのみ玉が入る確率を$P_{m,k}(n)$とする．ここで，$m \geqq 2$，$1 \leqq k \leqq m-1$である．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_{m,k}(n)$はいくらか．
国立 徳島大学 2016年 第4問赤玉$1$個と白玉$3$個が入っている袋$\mathrm{A}$から玉を$2$個取り出し，空の袋$\mathrm{B}$に入れた状態を最初の入れ方とする．次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を順に行うことを$1$回の作業とする．
(i) 袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出し，その玉が白玉ならば袋$\mathrm{A}$に戻し，赤玉ならば袋$\mathrm{B}$に入れてよくかき混ぜた上で袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．
(ii) 袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出し，その玉が白玉ならば袋$\mathrm{B}$に戻し，赤玉ならば袋$\mathrm{A}$に入れてよくかき混ぜた上で袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる．
最初の入れ方で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を$P_0$とし，上の作業を$n$回行った後で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を$P_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．玉は色以外に区別できないものとして，次の問いに答えよ．
(1)$P_0,\ P_1$を求めよ．
(2)$P_n$を求めよ．
(3)最初の入れ方から作業を$n$回行って袋$\mathrm{A}$に赤玉があったとき，最初の入れ方で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を求めよ．
(i) 袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出し，その玉が白玉ならば袋$\mathrm{A}$に戻し，赤玉ならば袋$\mathrm{B}$に入れてよくかき混ぜた上で袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．
(ii) 袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出し，その玉が白玉ならば袋$\mathrm{B}$に戻し，赤玉ならば袋$\mathrm{A}$に入れてよくかき混ぜた上で袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる．
最初の入れ方で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を$P_0$とし，上の作業を$n$回行った後で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を$P_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．玉は色以外に区別できないものとして，次の問いに答えよ．
(1)$P_0,\ P_1$を求めよ．
(2)$P_n$を求めよ．
(3)最初の入れ方から作業を$n$回行って袋$\mathrm{A}$に赤玉があったとき，最初の入れ方で袋$\mathrm{A}$に赤玉がある確率を求めよ．
国立 琉球大学 2016年 第4問$N$を$3$以上の自然数とする．
$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出し，そのカードを袋に戻さず次のカードを取り出す」という作業を$3$枚のカードを取り出すまで繰り返す．取り出された$3$枚のカードに書かれた数の最大値を$X$とする．
また，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出してはそれに書かれた数を記録し，袋に戻す」という作業を$3$回行い，記録された数の最大値を$Y$とする．
$n$を$N$以下の自然数とする．$X=n$となる確率を$p_n$とし，$Y=n$となる確率を$q_n$とする．
次の問いに答えよ．
(1)$p_3,\ q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ．
(2)$p_n$と$q_n$を求めよ．
$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出し，そのカードを袋に戻さず次のカードを取り出す」という作業を$3$枚のカードを取り出すまで繰り返す．取り出された$3$枚のカードに書かれた数の最大値を$X$とする．
また，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出してはそれに書かれた数を記録し，袋に戻す」という作業を$3$回行い，記録された数の最大値を$Y$とする．
$n$を$N$以下の自然数とする．$X=n$となる確率を$p_n$とし，$Y=n$となる確率を$q_n$とする．
次の問いに答えよ．
(1)$p_3,\ q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ．
(2)$p_n$と$q_n$を求めよ．
公立 高崎経済大学 2016年 第5問あるだるまメーカーが，大小$2$種類のだるまを製造・販売している．だるまの製造には，材料と職人の作業が必要である．だるま$1$個の製造に必要な材料の量と職人の作業時間，販売によって得られる利益は下の表に示すとおりである．また，材料は$84 \, \mathrm{kg}$まで使うことができ，職人は$960$時間まで作業できる．なお，製造しただるまは必ず販売できる．このとき，次の各問に答えよ．
表 だるま$1$個の製造に必要な材料の量，職人の作業時間，得られる利益
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& 必要な材料の量 & 必要な職人の作業時間 & 得られる利益 \\ \hline
だるま（小） & $100 \mathrm{g}$ & $2$時間 & $300$円 \\ \hline
だるま（大） & $300 \mathrm{g}$ & $3$時間 & $500$円 \\ \hline
\end{tabular}
(1)「だるま（小）」だけを製造・販売する場合，利益は最大でいくらになるか．
(2)「だるま（小）」と「だるま（大）」を製造・販売する場合，利益の総額を最大にするためには，「だるま（小）」と「だるま（大）」をそれぞれ何個製造・販売すればよいか．
(3)いま，ライバルメーカーとの競争によって，「だるま（小）」$1$個から得られる利益が$100$円に，「だるま（大）」$1$個から得られる利益が$350$円に，それぞれ低下したとする．この場合，利益の総額を最大にするためには，「だるま（小）」と「だるま（大）」をそれぞれ何個製造・販売すればよいか．
表 だるま$1$個の製造に必要な材料の量，職人の作業時間，得られる利益
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& 必要な材料の量 & 必要な職人の作業時間 & 得られる利益 \\ \hline
だるま（小） & $100 \mathrm{g}$ & $2$時間 & $300$円 \\ \hline
だるま（大） & $300 \mathrm{g}$ & $3$時間 & $500$円 \\ \hline
\end{tabular}
(1)「だるま（小）」だけを製造・販売する場合，利益は最大でいくらになるか．
(2)「だるま（小）」と「だるま（大）」を製造・販売する場合，利益の総額を最大にするためには，「だるま（小）」と「だるま（大）」をそれぞれ何個製造・販売すればよいか．
(3)いま，ライバルメーカーとの競争によって，「だるま（小）」$1$個から得られる利益が$100$円に，「だるま（大）」$1$個から得られる利益が$350$円に，それぞれ低下したとする．この場合，利益の総額を最大にするためには，「だるま（小）」と「だるま（大）」をそれぞれ何個製造・販売すればよいか．
私立 早稲田大学 2015年 第4問棚に包装された製品が$n$個（$n \geqq 4$）並んでいるが，そのうち$2$個が不良品だということがわかっている．$n$個の製品はすでに包装されているため，外見からはどれが不良品かどうかを区別することはできない．今，どの$2$個が不良品かを見つけるために，$n$個の製品のうち$1$個を取り出し，包装を解き，中身をチェックする．中身が不良品だった場合は，別に置いてあったすでに包装された良品と交換し，もとにあった場所に戻す．中身が不良品でなかった場合は，製品を包装し直した上でもとにあった場所に戻す．$1$個目の製品のチェックが終わったら，棚の別の製品も同様にチェックし，この作業を$2$個の不良品が見つかるまで繰り返し，$2$個目の不良品を交換した時点で終了する．包装された良品と交換する費用は製品$1$個につき$1000$円，製品を包装し直す費用は製品$1$個につき$100$円である．
(1)$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である．
(2)$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である．
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である．
(1)$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である．
(2)$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である．
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である．
国立 東京海洋大学 2014年 第4問箱の中に赤球，青球，黄球，緑球が各$1$個ずつ入っている．この箱から球を取り出し，取り出した球の色をサイコロの$1$の面に塗り，球を箱にもどす．以下，同様の作業を繰り返し，箱から取り出した球の色をサイコロの$2$から$6$の各面に順に塗っていく．ただし，サイコロは立方体であり$2$つの面は辺を共有するとき「隣り合う」という．このとき次の問に答えよ．
(1)サイコロが$3$色で塗られ，かつどの隣り合う$2$つの面の色も異なる確率を求めよ．
(2)サイコロのどの隣り合う$2$つの面の色も異なる確率を求めよ．
(1)サイコロが$3$色で塗られ，かつどの隣り合う$2$つの面の色も異なる確率を求めよ．
(2)サイコロのどの隣り合う$2$つの面の色も異なる確率を求めよ．
国立 鹿児島大学 2013年 第7問$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の数字が$1$つずつ記入された$5$枚のカードがある．この$5$枚のカードの中から$1$枚引き，数字を記録して戻すという作業を$3$回繰り返す．ただし，$3$回ともどのカードを引く確率も等しいとする．記録した$3$つの数字の最小値を$X$とするとき，次の各問いに答えよ．
(1)$k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して確率$P(X \geqq k)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率分布を表で表せ．
(3)確率変数$X$の平均（期待値）$E(X)$を求めよ．
(4)確率変数$X$の分散$V(X)$を求めよ．
(1)$k=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して確率$P(X \geqq k)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率分布を表で表せ．
(3)確率変数$X$の平均（期待値）$E(X)$を求めよ．
(4)確率変数$X$の分散$V(X)$を求めよ．
私立 成城大学 2013年 第2問ある作業をするためにかかる時間は，作業回数に応じて変化し，$n$回目の作業時間$T_n$秒は，以下の式で示される．
\[ T_n=T_1 \cdot n^{-k} \]
ただし，$T_1$は$1$回目の作業時間，$k$は作業の種類によって異なる正の定数である．$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}2=0.3010$として次の問いに答えなさい．
(1)作業$\mathrm{A}$の$1000$回目の作業時間が$150$秒，$2000$回目の作業時間が$50$秒であるときに，$k$の値を四捨五入して小数第$3$位まで求めよ．
(2)作業$\mathrm{B}$の$100$回目の作業時間が$1$回目の作業時間の半分になった．このときの$k$の値を，四捨五入して小数第$3$位まで求めよ．また，作業時間が$100$回目のさらに半分に縮まるのは，何回目の作業か．
\[ T_n=T_1 \cdot n^{-k} \]
ただし，$T_1$は$1$回目の作業時間，$k$は作業の種類によって異なる正の定数である．$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}2=0.3010$として次の問いに答えなさい．
(1)作業$\mathrm{A}$の$1000$回目の作業時間が$150$秒，$2000$回目の作業時間が$50$秒であるときに，$k$の値を四捨五入して小数第$3$位まで求めよ．
(2)作業$\mathrm{B}$の$100$回目の作業時間が$1$回目の作業時間の半分になった．このときの$k$の値を，四捨五入して小数第$3$位まで求めよ．また，作業時間が$100$回目のさらに半分に縮まるのは，何回目の作業か．
国立 お茶の水女子大学 2012年 第1問$3$枚のカードに，$1$，$2$，$3$の各数字が書かれている．この$3$枚のカードから$1$枚引き，そこに書いてある数字を記録してカードを戻す，という作業を$n$回繰り返す．ただし，何回目の作業であっても，どのカードを引く確率も等しいとする．一度も引かなかったカードがあった場合に限り，$n$回引いて得た数字のうち一番大きいものを得点として獲得するものとする．\\
例えば$n=5$のとき，引いた数字が順に$2$，$2$，$3$，$3$，$2$であれば$3$点を獲得し，$2$，$1$，$2$，$2$，$3$であれば得点は獲得しない．\\
以下の問いに答えよ．
(1)$1$点を獲得する確率を求めよ．
(2)$2$点を獲得する確率を求めよ．
(3)$3$点を獲得する確率を求めよ．
(4)獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数$n$の値を全て求め，そのときの期待値を求めよ．
例えば$n=5$のとき，引いた数字が順に$2$，$2$，$3$，$3$，$2$であれば$3$点を獲得し，$2$，$1$，$2$，$2$，$3$であれば得点は獲得しない．\\
以下の問いに答えよ．
(1)$1$点を獲得する確率を求めよ．
(2)$2$点を獲得する確率を求めよ．
(3)$3$点を獲得する確率を求めよ．
(4)獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数$n$の値を全て求め，そのときの期待値を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2012年 第1問$3$枚のカードに，$1$，$2$，$3$の各数字が書かれている．この$3$枚のカードから$1$枚引き，そこに書いてある数字を記録してカードを戻す，という作業を$n$回繰り返す．ただし，何回目の作業であっても，どのカードを引く確率も等しいとする．一度も引かなかったカードがあった場合に限り，$n$回引いて得た数字のうち一番大きいものを得点として獲得するものとする．\\
例えば$n=5$のとき，引いた数字が順に$2$，$2$，$3$，$3$，$2$であれば$3$点を獲得し，$2$，$1$，$2$，$2$，$3$であれば得点は獲得しない．\\
以下の問いに答えよ．
(1)$1$点を獲得する確率を求めよ．
(2)$2$点を獲得する確率を求めよ．
(3)$3$点を獲得する確率を求めよ．
(4)獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数$n$の値を全て求め，そのときの期待値を求めよ．
例えば$n=5$のとき，引いた数字が順に$2$，$2$，$3$，$3$，$2$であれば$3$点を獲得し，$2$，$1$，$2$，$2$，$3$であれば得点は獲得しない．\\
以下の問いに答えよ．
(1)$1$点を獲得する確率を求めよ．
(2)$2$点を獲得する確率を求めよ．
(3)$3$点を獲得する確率を求めよ．
(4)獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数$n$の値を全て求め，そのときの期待値を求めよ．