次の各問いに答えよ．

(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．

次の各問いに答えよ．

(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．

次の各問いに答えよ．

(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．

事象$X$の確率を$P(X)$で表し，$X$の余事象を$\overline{X}$で表す．事象$A,\ B$が
\[ P(A \cap B)=P(A)P(B) \]
をみたすとき，以下の設問に答えよ．

(1)$P(\overline{A} \cap \overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B})$を示せ．
(2)$\displaystyle P(A \cup B)=\frac{3}{5},\ P(\overline{A} \cup \overline{B})=\frac{13}{15},\ P(A)>P(B)$であるとき，$P(A)$および$P(B)$を求めよ．

袋の中に$1$から$5$の番号のついた赤玉と，$1$から$10$の番号のついた白玉が，それぞれ$1$個ずつ入っている．この袋から同時に$2$個の玉を取り出す試行を考える．$A$は少なくとも$1$個が赤玉である事象，$B$は番号の和が奇数となる事象とする．事象$X$の起こる確率を$P(X)$とするとき，積事象$A \cap B$の起こる確率$P(A \cap B)$，和事象$A \cup B$の起こる確率$P(A \cup B)$を求めたい．次の文章中の空欄に値を入れよ．

「玉の取り出し方は全部で$[$1$]$通りある．
$A$の余事象$\overline{A}$の起こる場合の数は$[$2$]$通りだから，$A$の起こる確率は，
\[ P(A)=1-P(\overline{A})=[$3$] \]
となる．
一方，$B$の起こる場合の数は，赤玉$1$個と白玉$1$個を取り出すときは$[$4$]$通り，赤玉$2$個を取り出すときは$[$5$]$通り，白玉$2$個を取り出すときは$[$6$]$通りある．
よって，$B$の起こる確率は，
\[ P(B)=[$7$] \]
となる．したがって，$A \cap B$の起こる確率は，
\[ P(A \cap B)=[$8$] \]
となり，$A \cup B$の起こる確率は，
\[ P(A \cup B)=[$9$] \]
となる．」