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早稲田大学 私立 早稲田大学 2015年 第4問
$N$を$3$以上の自然数とする.$1$から$N$までの数字が書かれた$N$枚のカードを用意し,$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の二人で次のようなゲームを行う.まず$\mathrm{A}$は,$1$から$N$までの数のうちから一つ選びそれを$K$とし,その数は$\mathrm{B}$に知らせずにおく.その後,以下の試行を何度も繰り返す.

$\mathrm{B}$は$N$枚のカードから無作為に一枚引いて$\mathrm{A}$にその数を伝え,$\mathrm{A}$は引かれた数字が$K$より大きければ「上」,$K$以下であれば「以下」と$\mathrm{B}$に答え,$\mathrm{B}$はその答から$K$の範囲を絞り込む.引いたカードは元へ戻す.
このとき,$n$回以下の試行で$\mathrm{B}$が$K$を確定できる確率を$P_N(n)$で表す.次の問に答えよ.

(1)$K=1$のとき,$P_3(1)$,$P_3(2)$,$P_3(3)$を求めよ.
(2)$K=2$のとき,$P_3(1)$,$P_3(2)$,$P_3(3)$を求めよ.
(3)$K=1,\ 2,\ \cdots,\ N$について$P_N(n)$を求めよ.
(4)自然数$c$に対して,極限値$\displaystyle \lim_{N \to \infty} P_N(cN)$を求めよ.
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「何度も」とは・・・

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