「位置」について
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国立 豊橋技術科学大学 2012年 第4問箱$\mathrm{A}$には$1$から$9$までの数が書かれた札が$9$枚，箱$\mathrm{B}$には$0$から$9$までの数が書かれた札が$10$枚入っている．今，それぞれの箱から$1$枚ずつ札を取り出して$2$桁の数を作る．ただし，箱$\mathrm{A}$から取り出した札を十の位，箱$\mathrm{B}$から取り出した札を一の位に割り当てるものとし，取り出した札は数を記録した後で元の箱に戻す．今，下図のような数直線を考え，点$\mathrm{Q}$が初期状態で$3$の位置にあるものとする．$2$桁の数が$3$の倍数の場合は数直線上の点$\mathrm{Q}$を負の方向に$1$移動し，それ以外の場合は正の方向に$1$移動するものとして，以下の問いに答えよ．
(1)数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$3$回行ったとき，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にない確率を求めよ．
(2)数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$n$回（$n \geqq 3$）行ったときの点$\mathrm{Q}$の位置を$x(n)$とする．数直線上を負の方向に移動した回数を$k$として$x(n)$を$n$と$k$で表せ．また，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にあるときの$k$を求めよ．
(3)数直線上の点$\mathrm{Q}$の移動する試行を$n$回（$n \geqq 3$）行ったとき，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にある確率を求めよ．
（図は省略）
(1)数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$3$回行ったとき，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にない確率を求めよ．
(2)数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$n$回（$n \geqq 3$）行ったときの点$\mathrm{Q}$の位置を$x(n)$とする．数直線上を負の方向に移動した回数を$k$として$x(n)$を$n$と$k$で表せ．また，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にあるときの$k$を求めよ．
(3)数直線上の点$\mathrm{Q}$の移動する試行を$n$回（$n \geqq 3$）行ったとき，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にある確率を求めよ．
（図は省略）
国立 京都教育大学 2012年 第4問空間において成分表示された$3$つのベクトルを
\[ \overrightarrow{a}=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2},\ 1,\ \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right),\quad \overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1),\quad \overrightarrow{c}=(1,\ 0,\ -1) \]
とする．これに対して原点$\mathrm{O}$に関する位置ベクトルが
\[ \overrightarrow{a}+(\cos t) \overrightarrow{b}+(\sin t) \overrightarrow{c} \]
である点$\mathrm{P}$を考える．次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{c}$をそれぞれ計算せよ．
(2)$t$が$0$から$2\pi$まで動くとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最大値，最小値とそのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．
\[ \overrightarrow{a}=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2},\ 1,\ \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right),\quad \overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1),\quad \overrightarrow{c}=(1,\ 0,\ -1) \]
とする．これに対して原点$\mathrm{O}$に関する位置ベクトルが
\[ \overrightarrow{a}+(\cos t) \overrightarrow{b}+(\sin t) \overrightarrow{c} \]
である点$\mathrm{P}$を考える．次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{c}$をそれぞれ計算せよ．
(2)$t$が$0$から$2\pi$まで動くとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最大値，最小値とそのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．
私立 早稲田大学 2012年 第4問円$C$とその内部の点$\mathrm{P}_0$が与えられている．初め$\mathrm{P}_0$にある動点が，円周上の点$\mathrm{P}_1$まで線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$上を動き，$\mathrm{P}_1$からは，$\mathrm{P}_1$における円$C$の接線$\ell_1$と線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$のなす角が$\ell_1$と線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$のなす角に等しくなるように向きを変えて，円周上の点$\mathrm{P}_2$まで線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$上を動く（図例$1$）．以下，自然数$n$について，円周上の点$\mathrm{P}_n$に至ったあとは，$\mathrm{P}_n$における円$C$の接線$\ell_n$と線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$のなす角が$\ell_n$と線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$のなす角に等しくなるように向きを変え，円周上の点$\mathrm{P}_{n+1}$まで線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$上を動き，この動きをくり返す（図例$2$）．線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$と接線$\ell_1$のなす角を$\alpha (\displaystyle 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2})$とする．
(1)$\mathrm{P}_m=\mathrm{P}_1$となる$3$以上の自然数$m$が存在するような角$\alpha$をすべて決定せよ．
(2)点$\mathrm{P}_1$の位置によって角$\alpha$は変化し得る．角$\alpha$が最大となる$\mathrm{P}_1$の位置，および最小となる$\mathrm{P}_1$の位置を求めよ．
(3)$\mathrm{P}_4=\mathrm{P}_1$となる点$\mathrm{P}_1$がとれるような点$\mathrm{P}_0$の存在範囲を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{P}_m=\mathrm{P}_1$となる$3$以上の自然数$m$が存在するような角$\alpha$をすべて決定せよ．
(2)点$\mathrm{P}_1$の位置によって角$\alpha$は変化し得る．角$\alpha$が最大となる$\mathrm{P}_1$の位置，および最小となる$\mathrm{P}_1$の位置を求めよ．
(3)$\mathrm{P}_4=\mathrm{P}_1$となる点$\mathrm{P}_1$がとれるような点$\mathrm{P}_0$の存在範囲を求めよ．
（図は省略）
私立 明治大学 2012年 第2問次の$[ ]$に当てはまる$0$～$9$の数字を解答欄に書け．
座標平面上にある$2$点$\mathrm{P}(2t,\ 2t^3)$，$\mathrm{Q}(-4,\ 4t^2-8)$が，$-2 \leqq t \leqq 2$の範囲で動く．$\ell:y=x+b$とし，$\mathrm{P}$と$\ell$の距離を$\alpha$，$\mathrm{Q}$と$\ell$の距離を$\beta$とする．$\mathrm{P}$は，$\ell$より上側にあり，$\mathrm{Q}$は，$\ell$より下側にあるとする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\ell$の位置関係から$b$の範囲は，
$[ア]t^2 - [イ] < b < [ウ] t^3 - [エ]t$
となる．従って，$t$の範囲は，
$-[オ] < t < [カ]$
でなければならない．
$\displaystyle \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} |[キ]t^3 - [ク]t - b|,$
$\displaystyle \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |[ケ]t^2 - [コ] - b|$
だから，$\alpha = \beta$とすると，$b = (t+[サ])(t^2 - [シ])$である．
従って，$\displaystyle \alpha = \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |(t-[ス])(t^2-[セ])|$となり，
この値が，最大となるのは，$t=\frac{[ソ]-\sqrt{[タ]}}{[チ]}$のときで，そのときの値は
\[ \alpha = \frac{[ツ][テ]\sqrt{[ト]}+[ナ]\sqrt{[ニ][ヌ]}}{[ネ][ノ]} \]
である．
座標平面上にある$2$点$\mathrm{P}(2t,\ 2t^3)$，$\mathrm{Q}(-4,\ 4t^2-8)$が，$-2 \leqq t \leqq 2$の範囲で動く．$\ell:y=x+b$とし，$\mathrm{P}$と$\ell$の距離を$\alpha$，$\mathrm{Q}$と$\ell$の距離を$\beta$とする．$\mathrm{P}$は，$\ell$より上側にあり，$\mathrm{Q}$は，$\ell$より下側にあるとする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\ell$の位置関係から$b$の範囲は，
$[ア]t^2 - [イ] < b < [ウ] t^3 - [エ]t$
となる．従って，$t$の範囲は，
$-[オ] < t < [カ]$
でなければならない．
$\displaystyle \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} |[キ]t^3 - [ク]t - b|,$
$\displaystyle \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |[ケ]t^2 - [コ] - b|$
だから，$\alpha = \beta$とすると，$b = (t+[サ])(t^2 - [シ])$である．
従って，$\displaystyle \alpha = \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |(t-[ス])(t^2-[セ])|$となり，
この値が，最大となるのは，$t=\frac{[ソ]-\sqrt{[タ]}}{[チ]}$のときで，そのときの値は
\[ \alpha = \frac{[ツ][テ]\sqrt{[ト]}+[ナ]\sqrt{[ニ][ヌ]}}{[ネ][ノ]} \]
である．
私立 明治大学 2012年 第1問以下の$[ ]$にあてはまる値を答えよ．
(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が媒介変数$\theta$を用いて
\[ \begin{array}{l}
x=-\sin \theta+2\cos \theta \\
y= 2\sin \theta+3\cos \theta
\end{array} \]
と表されているとする．このとき，原点を$\mathrm{O}$とすると
\[ \mathrm{OP}^2 = [ア]\sqrt{2} \sin \left( [イ]\theta + \frac{\pi}{[ウ]} \right) + [エ] \]
が成り立つ．
(2)$4$つのサイコロを投げて，出た目の積を$m$とする．
(3)$m=10$となる確率は$\displaystyle\frac{[オ]}{[カ][キ][ク]}$である．また，$m=60$となる確率は$\displaystyle\frac{[ケ]}{[コ][サ][シ]}$である．
(4)$m$が$10$と互いに素になる確率は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ][ソ]}$である．また，$m$が$10$の倍数となる確率は$\displaystyle\frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト][ナ]}$である．\\
ただし，自然数$a$と$b$が互いに素であるとは，$a$と$b$が$1$以外の公約数を持たないことをいう．
(5)$xy$座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$\mathrm{O}$に正三角形$\mathrm{ABC}$が内接していて，三点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はその順に反時計回りに位置している．点$\mathrm{A}$の$x$座標と$y$座標はともに正とする．直線$\mathrm{AC}$と$y$軸は点$\mathrm{D}$で交わっていて，点$\mathrm{D}$を通り直線$\mathrm{BC}$に平行な直線は，円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{E}$で接するという．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[ニ]$であって，$\tan (\angle \mathrm{ODE}) = [ヌ]$となる．ゆえに，点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ネ]$である．
(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が媒介変数$\theta$を用いて
\[ \begin{array}{l}
x=-\sin \theta+2\cos \theta \\
y= 2\sin \theta+3\cos \theta
\end{array} \]
と表されているとする．このとき，原点を$\mathrm{O}$とすると
\[ \mathrm{OP}^2 = [ア]\sqrt{2} \sin \left( [イ]\theta + \frac{\pi}{[ウ]} \right) + [エ] \]
が成り立つ．
(2)$4$つのサイコロを投げて，出た目の積を$m$とする．
(3)$m=10$となる確率は$\displaystyle\frac{[オ]}{[カ][キ][ク]}$である．また，$m=60$となる確率は$\displaystyle\frac{[ケ]}{[コ][サ][シ]}$である．
(4)$m$が$10$と互いに素になる確率は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ][ソ]}$である．また，$m$が$10$の倍数となる確率は$\displaystyle\frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト][ナ]}$である．\\
ただし，自然数$a$と$b$が互いに素であるとは，$a$と$b$が$1$以外の公約数を持たないことをいう．
(5)$xy$座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$\mathrm{O}$に正三角形$\mathrm{ABC}$が内接していて，三点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はその順に反時計回りに位置している．点$\mathrm{A}$の$x$座標と$y$座標はともに正とする．直線$\mathrm{AC}$と$y$軸は点$\mathrm{D}$で交わっていて，点$\mathrm{D}$を通り直線$\mathrm{BC}$に平行な直線は，円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{E}$で接するという．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[ニ]$であって，$\tan (\angle \mathrm{ODE}) = [ヌ]$となる．ゆえに，点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ネ]$である．
私立 法政大学 2012年 第1問Aは$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$と書かれた札を，Bは$2,\ 4,\ 6,\ 8$と書かれた札を手元に持ち，札の数字が書かれた面$(\text{表})$はふせられた状態である．両者は札をよくかき混ぜた後$n$枚の札を引き，表にして数字を比べる．ただし，$n=1$のときは数字の大きい方が勝ちで，両者の数字が等しいときは引き分けとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$n=1$とする．
(2)引き分けとなる確率を求めよ．
(3)勝った者は自分が引いた札の数字が得点となり，その他の場合はそれぞれの得点が0となるとき，Aの得点の期待値を求めよ．
(4)$n=2$とする．Aの札の数字の合計と，Bの札の数字の合計が等しくなる確率を求めよ．
(5)$n=1$とする．数直線上にある点Pを，Aが勝ったときは正の方向に2だけ，Bが勝ったときは負の方向に1だけ動かす．ただし，引き分けのときは動かさない．こうした試行を4回繰り返すとき，最初に原点にあった点Pが4回の試行後に原点に位置する確率を求めよ．なお，AとBが引いた札は，試行が終わるごとに各々の手元に戻し，よくかき混ぜて次の試行を行うものとする．
(1)$n=1$とする．
(2)引き分けとなる確率を求めよ．
(3)勝った者は自分が引いた札の数字が得点となり，その他の場合はそれぞれの得点が0となるとき，Aの得点の期待値を求めよ．
(4)$n=2$とする．Aの札の数字の合計と，Bの札の数字の合計が等しくなる確率を求めよ．
(5)$n=1$とする．数直線上にある点Pを，Aが勝ったときは正の方向に2だけ，Bが勝ったときは負の方向に1だけ動かす．ただし，引き分けのときは動かさない．こうした試行を4回繰り返すとき，最初に原点にあった点Pが4回の試行後に原点に位置する確率を求めよ．なお，AとBが引いた札は，試行が終わるごとに各々の手元に戻し，よくかき混ぜて次の試行を行うものとする．
私立 立教大学 2012年 第1問次の空欄ア～ケに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$(x-2y)^8$の展開式における$x^5y^3$の係数は[ア]である．
(2)$\displaystyle \int_0^2 (x^2-ax+2)\, dx=0$の等式を満たす定数$a$の値は[イ]である．
(3)$1$から$200$までの整数で，$3$および$7$のいずれでも割りきれない数の個数は[ウ]個である．
(4)方程式$5x+3y+z=15$を満たす自然数$x,\ y,\ z$の組の個数は[エ]個である．
(5)原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は，サイコロを振って偶数の目が出るとその目の数に$+3$をかけた数だけ移動し，奇数の目が出るとその目の数に$-2$をかけた数だけ移動する．このサイコロを$1$回振るときの点$\mathrm{P}$の数直線上の位置の期待値は[オ]である．
(6)$a=\log_2 5,\ b=\log_2 9$とおく．$\log_4 150$を$a,\ b$を用いて表すと[カ]である．
(7)複素数$z$が$\displaystyle z=\frac{a}{1-3i}+\frac{bi}{1+3i}$で与えられたとき，$z=4i$となるような実数$a,\ b$を求めると，$a=[キ],\ b=[ク]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(8)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に長さが等しいベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2,\ 6)$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は[ケ]である．ただし，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$2$より小さいとする．
(1)$(x-2y)^8$の展開式における$x^5y^3$の係数は[ア]である．
(2)$\displaystyle \int_0^2 (x^2-ax+2)\, dx=0$の等式を満たす定数$a$の値は[イ]である．
(3)$1$から$200$までの整数で，$3$および$7$のいずれでも割りきれない数の個数は[ウ]個である．
(4)方程式$5x+3y+z=15$を満たす自然数$x,\ y,\ z$の組の個数は[エ]個である．
(5)原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$は，サイコロを振って偶数の目が出るとその目の数に$+3$をかけた数だけ移動し，奇数の目が出るとその目の数に$-2$をかけた数だけ移動する．このサイコロを$1$回振るときの点$\mathrm{P}$の数直線上の位置の期待値は[オ]である．
(6)$a=\log_2 5,\ b=\log_2 9$とおく．$\log_4 150$を$a,\ b$を用いて表すと[カ]である．
(7)複素数$z$が$\displaystyle z=\frac{a}{1-3i}+\frac{bi}{1+3i}$で与えられたとき，$z=4i$となるような実数$a,\ b$を求めると，$a=[キ],\ b=[ク]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(8)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に長さが等しいベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2,\ 6)$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は[ケ]である．ただし，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$2$より小さいとする．
私立 立教大学 2012年 第3問座標平面上に2点A$(-1,\ 3)$，B$(5,\ 15)$と直線$\ell$が与えられており，2点A，Bは直線$\ell$に関して対称な位置にある．直線$\ell$が$y$軸と交わる点をCとし，線分ABの中点をMとする．線分MA上に，点Mと異なる点Pをとる．このとき次の問(1)～(4)に答えよ．
(1)点Mの座標と直線ABの方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)点Pの$x$座標を$t$とする．$\angle \text{PCM}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(4)直線$\ell$に関して，点Pと対称な点をQとする．三角形PCQが正三角形となるとき，$t$の値を求めよ．
(1)点Mの座標と直線ABの方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)点Pの$x$座標を$t$とする．$\angle \text{PCM}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(4)直線$\ell$に関して，点Pと対称な点をQとする．三角形PCQが正三角形となるとき，$t$の値を求めよ．
私立 西南学院大学 2012年 第5問原点を$\mathrm{O}$とする空間に四面体$\mathrm{OPQR}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の位置ベクトルをそれぞれ，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{r}$とするとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{G}$の位置ベクトル$\overrightarrow{g}$は，$\displaystyle \overrightarrow{g}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r})$となることを示せ．
私立 安田女子大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\sqrt{0.5^2-0.4^2}$を計算せよ．
(2)放物線$y=x^2+4x-1$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ．
(3)循環小数$2.0 \dot{3}$を分数で表せ．
(4)半径がそれぞれ$1$である$2$つの円が，一方の円周上に他方の円の中心があるような位置で重なっている．このとき，$2$つの円が重なっている部分の面積を求めよ．なお，円周率は$\pi$とする．
(1)$\sqrt{0.5^2-0.4^2}$を計算せよ．
(2)放物線$y=x^2+4x-1$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ．
(3)循環小数$2.0 \dot{3}$を分数で表せ．
(4)半径がそれぞれ$1$である$2$つの円が，一方の円周上に他方の円の中心があるような位置で重なっている．このとき，$2$つの円が重なっている部分の面積を求めよ．なお，円周率は$\pi$とする．