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獨協医科大学 私立 獨協医科大学 2016年 第4問
次の問いに答えなさい.ただし,$[チ]$には$[$\mathrm{X]$}$~$[$\mathrm{Z]$}$に入る言葉の組合せとして最も適切なものを,下の選択肢$\nagamaruichi$~$\nagamaruroku$のうちから一つ選びなさい.

複素数$\alpha$を$\alpha=-7+4 \sqrt{3}i$とし,実数の数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
\[ a_n+4 \sqrt{3} b_n i=\alpha^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.ただし,$i$は虚数単位である.$a_n$と$b_n$を$\alpha$とその共役な複素数$\overline{\alpha}$で表すと
\[ a_n=\frac{\alpha^n+(\overline{\alpha})^n}{[ア]},\quad b_n=\frac{\alpha^n-(\overline{\alpha})^n}{[イ] \sqrt{[ウ]}i} \]
となるので,数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は漸化式

$a_{n+2}+[エオ]a_{n+1}+[カキ]a_n=0 \quad \cdots\cdots \ ①$
$b_{n+2}+[エオ]b_{n+1}+[カキ]b_n=0 \quad\;\;\!\! \cdots\cdots \ ②$

を満たす.これらを用いて,すべての自然数$n$に対して

$a_n$と$b_n$が互いに素な整数である $\quad \cdots\cdots \ (*)$

ことを,数学的帰納法により証明する.

(i) $n=1,\ 2$のとき
\[ a_1=[クケ],\quad b_1=[コ],\quad a_2=[サ],\quad b_2=[シスセ] \]
であるから,$(*)$が成り立つ.
(ii) $n=k,\ k+1$のとき$(*)$が成り立つと仮定する.
まず$①,\ ②$より,$a_{k+2},\ b_{k+2}$は$[$\mathrm{X]$}$である.ここで
\[ {a_n}^2+48{b_n}^2=[ソタ]^n \quad \cdots\cdots \ ③ \]
がすべての自然数$n$で成り立つ.$[ソタ]$が$[$\mathrm{Y]$}$であるから,$a_{k+2},\ b_{k+2}$が$[$\mathrm{Z]$}$と仮定すると$③$より,これら$2$数は$[ソタ]$の倍数でなければならない.ところが,このとき$①,\ ②$より$a_{k+1},\ b_{k+1}$は$[ソタ]$の倍数となり,数学的帰納法の仮定と矛盾する.よって,$n=k+2$のときも$(*)$が成り立つ.

$(ⅰ),\ (ⅱ)$より,すべての自然数$n$について$(*)$が成り立つ.

$[チ]$の選択肢
\[ \begin{array}{ccccccccc}
& \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} & & & \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} \\
\nagamaruichi & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruni & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarusan & \text{素数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamarushi & \text{整数} & \text{整数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarugo & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruroku & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素である}
\end{array} \]
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2015年 第4問
平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$があり,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \neq 0 \]
を満たしていると仮定する.辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$,線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とし,三角形$\mathrm{OBC}$の外心を$\mathrm{P}$とする.このとき,次の各問いに答えよ.

(1)$\mathrm{M} \neq \mathrm{P}$のとき,線分$\mathrm{MP}$と線分$\mathrm{OA}$は平行であることを示せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=t \overrightarrow{a}$とおいて,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2015年 第6問
平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$があり,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \neq 0 \]
を満たしていると仮定する.辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$,線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とし,三角形$\mathrm{OBC}$の外心を$\mathrm{P}$とする.このとき,次の各問いに答えよ.

(1)$\mathrm{M} \neq \mathrm{P}$のとき,線分$\mathrm{MP}$と線分$\mathrm{OA}$は平行であることを示せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=t \overrightarrow{a}$とおいて,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2015年 第4問
平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$があり,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \neq 0 \]
を満たしていると仮定する.辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$,線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とし,三角形$\mathrm{OBC}$の外心を$\mathrm{P}$とする.このとき,次の各問いに答えよ.

(1)$\mathrm{M} \neq \mathrm{P}$のとき,線分$\mathrm{MP}$と線分$\mathrm{OA}$は平行であることを示せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=t \overrightarrow{a}$とおいて,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第3問
$\mathrm{M}$社はブドウを栽培し,それを原料にしたワインを醸造して世界中に販売している,としよう.一般には,企業の業績には,社内のさまざまな活動だけでなく,社外の要因も大きくかかわっている.しかしながら,ここでは,問題が複雑にならないように,一部の活動に限定して,$\mathrm{M}$社の醸造計画を考えてみよう.

栽培および醸造において,量と質には,醸造量が増えれば増えるほどワインの品質が低下する,という関係があると仮定する.この関係は,
\[ q=a-bx \]
という単純な式で表されるとする.ここで,$x$はワインの醸造量(リットル),$q$はワインの品質の高さを表す$\mathrm{M}$社が独自に定めた指標とし,$a$と$b$は正の実数とする.また,変数$x$のとり得る値の範囲は,$x$と$q$がともに正の値となる範囲とする.
醸造されるワインはすべて同一の品質で,同一の価格で販売されるものとし,その価格を$p$(円/リットル)で表す.市場において,品質の高いワインは希少性が増すため,その価格は非常に高いものになる.この関係は,
\[ p=cq^2 \]
で表されると仮定する.ただし,$c$は正の実数とする.また,醸造されたワインは,上記で定まる価格で,すべて残らずに販売されてしまうものとする.
$\mathrm{M}$社は,以上の諸条件を前提にして,その年の栽培および醸造を行う.すなわち,醸造量を$x$と決め,それに応じて適切な栽培および醸造を行うことにより,品質の指標が$q$となるワインを作り,その全量(すなわち$x$)を品質の指標$q$に応じた価格$p$で販売し,売上高$y=px$(円)を得る.

(1)売上高は,
\[ x=\frac{[$69$]}{[$70$]} \cdot \frac{a}{b} \ \text{(リットル)} \]
のとき,最大値
\[ \frac{[$71$]}{[$72$][$73$]} \cdot \frac{ca \!\!\! \raisebox{3mm}[5mm][1mm]{\mkakko{$74$}}}{b} \ \text{(円)} \]
をとる.
(2)次に,ワインを醸造するに際し,技術上の制約や販売上の都合などの理由で,醸造量の下限が設けられているとしよう.この下限を正の実数$m$(リットル)で表す.$x$の取り得る値の範囲には,$x$が$m$以上という条件が追加されることになる.このときの売上高の最大値を$\overline{y}$で表し,それを与える醸造量を$\overline{x}$で表す.$\overline{x}$は$m$の関数であるので,これを$\overline{x}=f(m)$で表す.関数$f(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として,この関数のグラフを描きなさい.
同様に,$\overline{y}$も$m$の関数であるので,これを$\overline{y}=g(m)$で表す.関数$g(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として,この関数のグラフを描きなさい.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第4問
銀行口座(以降,口座)から$\mathrm{IC}$カードに金額を移転し,そのカードを用いて支払いをおこなうものとする.口座からカードに移転した金額を超過してさらに支払う必要が生じた場合,その分は銀行が自動的に立て替えて払うものとする.

このとき,口座からカードに金額を移転することに伴う利子収入の減少分,および銀行からの借入れに伴う利払い,そして口座からカードへの移転に伴う手数料,それらの合計$Z$を最小にする問題を考える.適当な仮定のもと,$Z$は独立変数$x,\ y$の関数として,つぎのように表わされる.
\[ Z=\frac{xy^2}{40A}+\frac{A^2-2xyA+x^2y^2}{30xA}+6x \]
ただし$(x,\ y)$は座標平面の第$1$象限の点であり,$A$は定数である.

(1)$x$を固定し,$Z$を$y$の関数と考えれば,その最小値は
\[ y=\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \frac{A}{x} \]
のときである.
(2)$Z$に$(1)$の結果を代入し,$Z$を$x$のみの関数とみれば
\[ x=\sqrt{\frac{[$39$][$40$][$41$]}{[$42$][$43$][$44$]}A} \]
のとき$Z$は最小になる.
(3)以上から$Z$の最小値は
\[ \sqrt{\frac{[$45$][$46$][$47$]}{[$48$][$49$][$50$]}A} \]
である.
藤田保健衛生大学 私立 藤田保健衛生大学 2015年 第4問
下図のように太陽が雲間から見えた.観察された太陽を半径$r$の円と仮定し,図のように見えた太陽の円周上の$2$点を$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$とし,線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$,円周上に一点$\mathrm{D}$を線分$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AB}$が互いに直交するようにとる.$\mathrm{AB}=a$,$\mathrm{CD}=c$とおくとき,$r$と$a,\ c$の関係を式で表わすと$[$8$]$となる.このとき$r$の最小値を$c$を用いて表わすと,$[$9$]$である.また$c<r$の場合,観察された太陽の中心を$\mathrm{O}$とする.この円を$\mathrm{OD}$を通る直径を軸に回転させてできる球において$\mathrm{AB}$を通り$\mathrm{OD}$に垂直な平面で$2$つの図形に分けたとき,点$\mathrm{D}$を含む部分の体積を$a,\ c$を用いて表すと$[$10$]$である.
(図は省略)
島根県立大学 公立 島根県立大学 2015年 第2問
$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}7=0.8451$とする.このとき,次の問いに答えなさい.

(1)$3^{30}$は何桁の整数か.
(2)$3^{30}$の一の位の数字と最高位の数字を求めなさい.
(3)$\mathrm{A}$村では人口減少が続いており,毎年$2 \, \%$ずつ減少している.毎年このままの比率で人口が減少すると仮定した場合,はじめて人口が現在の半分以下になるのは何年後かを答えなさい.
九州大学 国立 九州大学 2014年 第2問
以下の問いに答えよ.

(1)任意の自然数$a$に対し,$a^2$を$3$で割った余りは$0$か$1$であることを証明せよ.
(2)自然数$a,\ b,\ c$が$a^2+b^2=3c^2$を満たすと仮定すると,$a,\ b,\ c$はすべて$3$で割り切れなければならないことを証明せよ.
(3)$a^2+b^2=3c^2$を満たす自然数$a,\ b,\ c$は存在しないことを証明せよ.
九州大学 国立 九州大学 2014年 第2問
以下の問いに答えよ.

(1)任意の自然数$a$に対し,$a^2$を$3$で割った余りは$0$か$1$であることを証明せよ.
(2)自然数$a,\ b,\ c$が$a^2+b^2=3c^2$を満たすと仮定すると,$a,\ b,\ c$はすべて$3$で割り切れなければならないことを証明せよ.
(3)$a^2+b^2=3c^2$を満たす自然数$a,\ b,\ c$は存在しないことを証明せよ.
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「仮定」とは・・・

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