100人の団体がある区間を列車で移動する．このとき，乗車券が7枚入った480円のセットAと，乗車券が3枚入った220円のセットBを購入して，利用することにした．以下の問いに答えよ．

(1)$x$が0以上の整数であるとき，次のことを示せ．\\
\quad $\displaystyle \frac{1}{3} (100-7x)$は，$x$を3で割ったときの余りが1の場合に整数であり，\\
\quad それ以外の場合は整数ではない．
(2)購入した乗車券は，余らせずすべて利用するものとする．このとき，セットAとセットBの購入の仕方をすべて挙げよ．
(3)購入した乗車券は余ってもよいものとする．このとき，Aのみ，あるいはBのみを購入する場合も含めて，購入金額が最も低くなるのは，A，Bをそれぞれ何
セットずつ購入するときか．またそのときの購入金額はいくらか．

$24$時間診療業務を休みなく行う病院において，$40$日間で$1$万個使用される医療材料$\mathrm{A}$について考える．$\mathrm{A}$の使用頻度は常に一定であり，$1$日の時間帯や曜日による変動は全くないものとする．さて，病院における在庫管理では，「品切れ」が起きないこと，「コスト」をできるだけ低くすること，この$2$つが肝要である．医療材料$\mathrm{A}$の保管費は，その保管期間に比例し，$1$個につき$10$日間で$1$円である．また，納入業者に$\mathrm{A}$を注文すれば，注文量の多少に関わらず，品物が届いた時点で$200$円の事務費がかかる．なお，担当者は$\mathrm{A}$の在庫量$y$の時間的推移を把握しており，品切れになる直前という最適のタイミングで，注文した量が届くものとする．われわれは，保管費と事務費の和$S$を最小にするような注文の仕方を求める．以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$の在庫は最初$1$万個あったとする．そして注文する量は毎回一定として，$x$で表す．このとき，時間$t$による在庫量$y$の変化を表すグラフを，横軸を時間の$t$軸とする座標平面上に図示せよ．（図示する際には，適当な$x$の値を自ら設定すること．）
以下，$1$回目の注文によって品物の届く時点以降の$y$の変化について考察する．
(2)周期的な$y$の変動に留意して，平均在庫量を求めよ．
(3)長期にわたる保管費，事務費の総額をそれぞれ見積もり，保管費と事務費の和$S$の「$1$日当たりの平均コスト」を求めよ．さらに，この$1$日当たりの平均コストを最小にするような$x$の値を求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)放物線$y=-2x^2+7x+6$の頂点は$[ア]$，軸は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle \cos \theta=-\frac{5}{13}$のとき，$\sin \theta=[ウ]$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(3)$10$人を$7$人と$3$人に分ける仕方は，$[エ]$通りある．
(4)$1$から$1000$までの番号をつけた$1000$枚のカードから$1$枚をとりだすとき，その番号が$14$または$21$の倍数である確率は$[オ]$である．