「交点」について
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(3ページ目:全1364問中21問~30問を表示)![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$,$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$,$\mathrm{AC}=2$とする.辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$があり,$\mathrm{AP}=\sqrt{3}$とする.また,辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$,線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$,$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$,$\mathrm{AC}=2$とする.辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$があり,$\mathrm{AP}=\sqrt{3}$とする.また,辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$,線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$,$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$,$\mathrm{AC}=2$とする.辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$があり,$\mathrm{AP}=\sqrt{3}$とする.また,辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$,線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ.
![横浜国立大学](./img/univ/yokokoku.png)
四面体$\mathrm{OABC}$があり,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする.点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2 \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=3 \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=6 \overrightarrow{\mathrm{OG}}$をみたす点とし,平面$\mathrm{ADE}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$,三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$,四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき,$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$,三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$,四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき,$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ.
![横浜国立大学](./img/univ/yokokoku.png)
四面体$\mathrm{OABC}$があり,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする.点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=2 \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=3 \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=6 \overrightarrow{\mathrm{OG}}$をみたす点とし,平面$\mathrm{ADE}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$,三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$,四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき,$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)三角形$\mathrm{ADE}$の面積を$S_1$,三角形$\mathrm{QDE}$の面積を$S_2$とするとき,$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OADE}$の体積を$V_1$,四面体$\mathrm{PQDE}$の体積を$V_2$とするとき,$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ.
![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
次の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2)$a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
\mon[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ.
\mon[(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい.
\mon[(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ.
\mon[(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2)$a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
\mon[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ.
\mon[(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい.
\mon[(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ.
\mon[(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
$xy$平面の直線$y=(\tan 2 \theta)x$を$\ell$とする.ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$とする.図で示すように,円$C_1$,$C_2$を以下の$(ⅰ)$~$\tokeishi$で定める.
(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する.
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である.
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$,$x$軸の正の部分,および円$C_1$と接する.
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす.
円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち,$x$軸,直線$\ell$と異なる直線を$m$とし,直線$m$と直線$\ell$,$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ.
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ.
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ.
(図は省略)
(i) 円$C_1$は直線$\ell$および$x$軸の正の部分と接する.
(ii) 円$C_1$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_1$は$\sin 2\theta$である.
(iii) 円$C_2$は直線$\ell$,$x$軸の正の部分,および円$C_1$と接する.
\mon[$\tokeishi$] 円$C_2$の中心は第$1$象限にあり,原点$\mathrm{O}$から中心までの距離$d_2$は$d_1>d_2$を満たす.
円$C_1$と円$C_2$の共通接線のうち,$x$軸,直線$\ell$と異なる直線を$m$とし,直線$m$と直線$\ell$,$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.
(1)円$C_1,\ C_2$の半径を$\sin \theta,\ \cos \theta$を用いて表せ.
(2)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$の範囲を動くとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ.
(3)$(2)$の最大値を与える$\theta$について直線$m$の方程式を求めよ.
(図は省略)
![群馬大学](./img/univ/gunma.png)
$\triangle \mathrm{OAB}$において,$3$辺の長さを$\mathrm{OA}=2$,$\mathrm{OB}=3$,$\mathrm{AB}=4$とする.$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点とし,$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{OB}$上の点で線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$が垂直になるものとする.また,線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ.
(3)$\mathrm{OQ}:\mathrm{QB}$を求めよ.
(4)$\mathrm{OR}:\mathrm{RP}$を求めよ.
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ.
(3)$\mathrm{OQ}:\mathrm{QB}$を求めよ.
(4)$\mathrm{OR}:\mathrm{RP}$を求めよ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$に対して,平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている.点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし,その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする.
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき,次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている.点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし,その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする.
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき,次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$に対して,平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている.点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし,その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする.
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき,次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている.点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし,その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする.直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする.
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき,次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.