「交点」について
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国立 福井大学 2015年 第2問三角形$\mathrm{OAB}$があり，$0<p<1$，$0<q<1$として，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OE}$，$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
国立 山梨大学 2015年 第3問下の図のように，$\mathrm{ABCDE}$を頂点とする正五角形$P_1$を考える．$P_1$の各辺の中点をとり，その中点を順に結び正五角形$P_2$をつくる．さらに，正五角形$P_2$の各辺の中点をとり，その中点を順に結び正五角形$P_3$をつくる．以下，これを繰り返す．正五角形$P_1$の一辺の長さを$1$，正五角形$P_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の一辺の長さを$a_n$としたとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\triangle \mathrm{ACD}$と$\triangle \mathrm{DFC}$が相似であることを証明せよ．
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
（図は省略）
(1)対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\triangle \mathrm{ACD}$と$\triangle \mathrm{DFC}$が相似であることを証明せよ．
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
国立 山梨大学 2015年 第4問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$，$\mathrm{AB}=1$とする．点$\mathrm{A}^\prime$および点$\mathrm{B}^\prime$をそれぞれ$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AA}^\prime}=\frac{1}{a} \overrightarrow{\mathrm{OA}}$および$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BB}^\prime}=\frac{1}{b} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるようにとる．また，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，$\angle \mathrm{BAA}^\prime$の$2$等分線と$\angle \mathrm{ABB}^\prime$の$2$等分線の交点を$\mathrm{D}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$a,\ b,\ t$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が一直線上にあるとき，$t$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$a,\ b,\ t$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が一直線上にあるとき，$t$の値を求めよ．
国立 東京学芸大学 2015年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{CO}$をそれぞれ$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$とおくとき，下の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を含む平面上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$(1)$でとった点$\mathrm{P}$に対して，四角形$\mathrm{DEPF}$の対角線の交点を$\mathrm{Q}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(1)線分$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を含む平面上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$(1)$でとった点$\mathrm{P}$に対して，四角形$\mathrm{DEPF}$の対角線の交点を$\mathrm{Q}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 茨城大学 2015年 第4問鋭角三角形$\mathrm{ABC}$について，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から対辺に下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{BD}$，$\mathrm{CE}$とし，$2$線分$\mathrm{BD}$，$\mathrm{CE}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$\mathrm{BE} \cdot \mathrm{BA}+\mathrm{CD} \cdot \mathrm{CA}=\mathrm{BF} \cdot \mathrm{BD}+\mathrm{CF} \cdot \mathrm{CE}$を示せ．
(2)$\mathrm{BC}^2=\mathrm{BE} \cdot \mathrm{BA}+\mathrm{CD} \cdot \mathrm{CA}$を示せ．
(1)$\mathrm{BE} \cdot \mathrm{BA}+\mathrm{CD} \cdot \mathrm{CA}=\mathrm{BF} \cdot \mathrm{BD}+\mathrm{CF} \cdot \mathrm{CE}$を示せ．
(2)$\mathrm{BC}^2=\mathrm{BE} \cdot \mathrm{BA}+\mathrm{CD} \cdot \mathrm{CA}$を示せ．
国立 滋賀医科大学 2015年 第2問$a<b$とする．放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$におけるそれぞれの接線の交点を$\mathrm{C}$とおく．$\angle \mathrm{ACB}={60}^\circ$であるとする．
(1)$a+b=0$のとき，$a$を求めよ．
(2)ある正の実数$k$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=-k(1,\ 2a)$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=k(1,\ 2b)$と表されることを示せ．
(3)$\displaystyle a<-\frac{\sqrt{3}}{6},\ b>\frac{\sqrt{3}}{6}$を示せ．
(4)$b$を$a$を用いて表せ．
(1)$a+b=0$のとき，$a$を求めよ．
(2)ある正の実数$k$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=-k(1,\ 2a)$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=k(1,\ 2b)$と表されることを示せ．
(3)$\displaystyle a<-\frac{\sqrt{3}}{6},\ b>\frac{\sqrt{3}}{6}$を示せ．
(4)$b$を$a$を用いて表せ．
国立 三重大学 2015年 第2問平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\mathrm{BC}=2$を満たしているとする．また$\mathrm{B}^\prime$は$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{AB}^\prime=8$となる点とする．$\mathrm{A}^\prime$は$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{BA}^\prime>\mathrm{BC}$かつ$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}=\angle \mathrm{BAC}$となる点とする．さらに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線と，$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$を通る直線の交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第2問平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=4$，$\mathrm{BC}=2$を満たしているとする．また$\mathrm{B}^\prime$は$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{AB}^\prime=8$となる点とする．$\mathrm{A}^\prime$は$\mathrm{B}$から$\mathrm{C}$に向かう半直線上にあり，$\mathrm{BA}^\prime>\mathrm{BC}$かつ$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}=\angle \mathrm{BAC}$となる点とする．さらに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線と，$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$を通る直線の交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．このとき，長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ．
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{DB}$と$\mathrm{DB}^\prime$を求めよ．
(2)$\cos \angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{C}$の値を求めよ．また，それを用いて$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{DB}^\prime$上にあり，$\mathrm{DP}:\mathrm{PB}^\prime=1:3$となる点とする．また$\mathrm{P}^\prime$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BC}$との交点とする．このとき，長さの比$\mathrm{BP}^\prime:\mathrm{P}^\prime \mathrm{C}$を求めよ．
(4)$\mathrm{P}^\prime$を$(3)$で与えたものとする．$\triangle \mathrm{ABP}^\prime$の面積を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第4問正の実数$a$に対し，$y=a \log x (x>0)$により定まる曲線を$C$とする．$C$上の点$(2,\ a \log 2)$における接線を$\ell$とするとき，$\ell$と$x$軸とのなす角が${30}^\circ$であった．以下の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)接線$\ell$の方程式，および$\ell$と$x$軸との交点を求めよ．
(3)$\ell$と$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)接線$\ell$の方程式，および$\ell$と$x$軸との交点を求めよ．
(3)$\ell$と$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 和歌山大学 2015年 第3問正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{G}$，辺$\mathrm{DE}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$0<t<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{CF}$と直線$\mathrm{GH}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{GI}:\mathrm{IH}$を求めよ．
(3)さらに，直線$\mathrm{AI}$と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{J}$とする．点$\mathrm{J}$が線分$\mathrm{CD}$を$1:2$に内分するとき，$t$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{CF}$と直線$\mathrm{GH}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{GI}:\mathrm{IH}$を求めよ．
(3)さらに，直線$\mathrm{AI}$と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{J}$とする．点$\mathrm{J}$が線分$\mathrm{CD}$を$1:2$に内分するとき，$t$の値を求めよ．