平面上に長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円$C$がある．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を除く$C$上の点$\mathrm{P}$に対し，$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}$となるように線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{Q}$をとる．また，直線$\mathrm{PQ}$と円$C$の交点のうち，$\mathrm{P}$でない方を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積を$\theta=\angle \mathrm{PAB}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を動かして$\triangle \mathrm{AQR}$の面積が最大になるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を用いて表せ．

空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 1)$の定める平面を$\alpha$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．$\alpha$上の点$\mathrm{C}$があり，その$x$座標が正であるとする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が$\overrightarrow{a}$に垂直で，大きさが$1$であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(1)$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)$\overrightarrow{b}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{c}$をみたす実数$s,\ t$を求めよ．
(3)$\alpha$上にない点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$から$\alpha$に垂線を下ろし，$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k \overrightarrow{a}+l \overrightarrow{c}$をみたす実数$k,\ l$を$x,\ y,\ z$で表せ．

座標空間内に$5$点
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A} \left(0,\ 0,\ \frac{3}{4} \right),\quad \mathrm{B}\left( \frac{1}{2},\ 0,\ \frac{1}{2} \right),\quad \mathrm{C}(s,\ t,\ 0),\quad \mathrm{D}(0,\ u,\ 0) \]
がある．ただし，$s,\ t,\ u$は実数で，$s>0$，$t>0$，$s+t=1$を満たすとする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面が$y$軸と点$\mathrm{D}$で交わっているとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．
(2)$u$を$t$を用いて表せ．また，$0<u<1$であることを示せ．
(3)点$(0,\ 1,\ 0)$を$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{OE}$を$12:1$に内分するとき，$t$の値を求めよ．

座標平面上の$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{x-3}{x-4}$，$\displaystyle y=\frac{1}{4}(x-1)(x-3)$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)$2$曲線$C_1$，$C_2$の交点をすべて求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$の概形をかき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$\alpha,\ \beta$は$\alpha>0$，$\beta>0$，$\alpha+\beta<1$を満たす実数とする．三つの放物線
\[ C_1:y=x(1-x),\quad C_2:y=x(1-\beta-x),\quad C_3:y=(x-\alpha)(1-x) \]
を考える．$C_2$と$C_3$の交点の$x$座標を$\gamma$とする．また，$C_1$，$C_2$，$C_3$で囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\gamma$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$S$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$\alpha,\ \beta$が$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{1}{4}$を満たしながら動くとき，$S$の最大値を求めよ．

$a,\ b$は定数で，$ab>0$とする．放物線$C_1:y=ax^2+b$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2+b)$における接線を$\ell$とし，放物線$C_2:y=ax^2$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$と$C_2$のすべての交点の$x$座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき，$S$は点$\mathrm{P}$の位置によらず一定であることを示せ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ 1)$を中心とし，原点$\mathrm{O}$を通る円を$C_1$とする．$k$を正の定数として，曲線$\displaystyle y=\frac{k}{x} (x>0)$を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$は$2$点で交わるとし，その交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，直線$\mathrm{PQ}$は$x$軸に平行であるとする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$q$とし，点$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$とする．次の問いに答えよ．

(1)$k,\ q,\ r$の値を求めよ．
(2)曲線$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$x=1+\sqrt{2} \sin \theta$とおくことにより，定積分$\displaystyle \int_r^q \sqrt{2-(x-1)^2} \, dx$の値を求めよ．
(4)円$C_1$の原点$\mathrm{O}$を含まない弧$\mathrm{QR}$と曲線$C_2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

座標平面上の放物線
\[ C_n:y=x^2-p_nx+q_n \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を考える．ただし，$p_n,\ q_n$は
\[ p_1^2-4q_1=4,\quad p_n^2-4q_n>0 \qquad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
を満たす実数とする．$C_n$と$x$軸との二つの交点を結ぶ線分の長さを$\ell_n$とする．また，$C_n$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S_n$は
\[ \frac{S_{n+1}}{S_n}=\left( \frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}} \right)^3 \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$C_n$の頂点の$y$座標を$\ell_n$を用いて表せ．
(2)数列$\{\ell_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$p_n=n \sqrt{n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \log \left( -\frac{2q_n}{n^2} \right)$を求めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．

座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$C$とする．$a>2$，$0<\theta<\pi$とし，$x$軸上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$と楕円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．原点を$\mathrm{O}$とし，直線$\mathrm{AP}$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた点$\mathrm{R}$の$y$座標を$f(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{R}$の距離の$2$乗を$g(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$g(\theta)$の最小値を求めよ．

座標平面上に原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．点$\mathrm{C}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$，$0^\circ<\angle \mathrm{AOC}<{90}^\circ$，$0^\circ<\angle \mathrm{BOC}<{90}^\circ$を満たすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=t$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$t$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{C}$から線分$\mathrm{OA}$に引いた垂線と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{D}$は$(2)$で定めた点とする．このとき，$\triangle \mathrm{OBD}$と$\triangle \mathrm{CDE}$の面積の和を$t$を用いて表せ．