座標空間に$5$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ t)$，$\mathrm{D}(8,\ 4,\ 1)$，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$がある．ただし，$t$は正の実数とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面と直線$\mathrm{OD}$の交点を$\mathrm{H}$とする．この平面$\mathrm{ABC}$と直線$\mathrm{OD}$が直交するとき，$t=[ア]$であり，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[イ]}{[ウ][エ]} \overrightarrow{\mathrm{OD}}$である．

$2$つの放物線$C_1:y=x^2+2$，$C_2:y=x^2-2$について，以下の問いに答えよ．

(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(k,\ k^2+2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．ただし，$k$は定数である．
(2)接線$\ell$と放物線$C_2$の交点の$x$座標を$k$の式で表せ．
(3)接線$\ell$と放物線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a$は定数とする．$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(a-1,\ (a-1)^2)$について，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$と$y$軸との交点の座標を$a$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$a$の式で表せ．ただし，$a \neq 0,\ 1$とする．
(3)$0<a<1$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，内心を$\mathrm{I}$，外心を$\mathrm{O}$，内接円の半径を$r$，外接円の半径を$R$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とするとき，$\angle \mathrm{BIC}$を$\alpha$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との$\mathrm{A}$でない交点を$\mathrm{D}$とするとき，$3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$は$\mathrm{D}$を中心とする同一円周上にあることを証明せよ．
(3)$2$点$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$の距離を$d$とする．$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$のとき，等式$(R+d)(R-d)=2rR$および不等式$R \geqq 2r$を証明せよ．
(4)$\mathrm{AB} \neq \mathrm{AC}$のとき，不等式$R>2r$を証明せよ．

$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}={72}^\circ$，$\mathrm{BC}=2$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{B}$の二等分線と辺$\mathrm{CA}$との交点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{E}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{DA}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)線分$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．
(4)$\cos {36}^\circ$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)関数$y=\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$のグラフ$C_1$は，$y=\log_2 (x+1)$のグラフ$C_2$を原点について対称移動し，$x$軸方向に$[ソ]$だけ平行移動したものであり，$C_1$と$C_2$の交点の座標は
\[ \left( [タ] \pm \sqrt{[チ]},\ \log_2 \left( [ツ] \pm \sqrt{[テ]} \right) \right) \quad \text{（複号同順）} \]
である．また，関数$y=\log_2 (x+1)-\log_{\frac{1}{2}}(3-x)$は$x=[ト]$のとき，最大値$[ナ]$をとる．
(2)赤球$3$個，青球$2$個，白球$1$個の計$6$個の球を横一列に並べるとき，並べ方は全部で$[ニヌ]$通りある．

曲線$y=\sin x \cos^3 x+x$上の$2$点$(0,\ 0)$，$\displaystyle \left( \frac{5}{4} \pi,\ \frac{5 \pi+1}{4} \right)$における接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式は，


$\ell_1:y=[ア]x,$

$\displaystyle \ell_2:y=\frac{1}{[イ]}x+\frac{1}{[ウ]}+\frac{[エ]}{[オ]} \pi$


であり，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の座標は，
\[ \left( \frac{[カ] \pi+[キ]}{[クケ]},\ \frac{[コ] \pi+[サ]}{[シ]} \right) \]
である．

次の各問に答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=9$，$\mathrm{OB}=7$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=57$である．$\mathrm{AB}=[ア]$であり，頂点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{OP}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \]
である．$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AQ}=\frac{[エ]}{[オ]}$であり，$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{[カキ]}{[ク]}$である．

(2)$xy$平面上に円$K:x^2+y^2-4x-2y+4=0$と直線$\ell:y=ax+a+1$がある．$\ell$は定数$a$の値によらず，点$\mathrm{P}([ケコ],\ [サ])$を通る．
$a=0$のとき，$\ell$と$K$との$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とすると，$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=[シ]$である．
また，$\ell$が$K$と$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$で交わり，$\mathrm{PC}:\mathrm{PD}=2:3$であるとき，
\[ \mathrm{CD}=\frac{[ス] \sqrt{[セ]}}{[ソ]} \]
であり，$\displaystyle a=\pm \frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]}$である．

曲線$C:y=x^3-12x$とその上の点$\mathrm{A}(1,\ -11)$がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$を通る曲線$C$の接線$2$本を求めよ．
(2)曲線$y=x^3+px^2+qx+r$と直線$y=mx+n$が異なる$3$点で交わるとき，その交点の$x$座標を左から$a,\ b,\ c$とする．曲線と直線の囲む部分の左側，右側の面積をそれぞれ$S$，$S^\prime$とするとき，
\[ S-S^\prime=\frac{1}{6}(c-a)^3 \left( b-\frac{a+c}{2} \right) \]
を示せ．
(3)点$\mathrm{A}$を通り，$(1)$で求めた$2$直線の傾きの間の値を傾きとしてもつ直線$\ell$と曲線$C$の囲む$2$つの部分の面積が等しい．このとき，直線$\ell$を求めよ．ここで，$(2)$から$\displaystyle b=\frac{a+c}{2}$のとき，$S=S^\prime$となることに注意せよ．

次の各問に答えよ．

(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると，
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる．
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき，$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で，そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である．
(4)$k$を定数とするとき，方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である．