半径$1$の円を内接円とする三角形$\mathrm{ABC}$が，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$の長さが等しい二等辺三角形であるとする．辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$と内接円の接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．また，$\alpha=\angle \mathrm{CAB}$，$\beta=\angle \mathrm{ABC}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．

(1)線分$\mathrm{AQ}$の長さを$\alpha$を用いて表し，線分$\mathrm{QC}$の長さを$\beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle t=\tan \frac{\beta}{2}$とおく．このとき，$S$を$t$を用いて表せ．
(3)不等式$S \geqq 3 \sqrt{3}$が成り立つことを示せ．さらに，等号が成立するのは，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形のときに限ることを示せ．

$3$次関数$f(x)$は$x=0$で極小，$x=a>0$で極大になるとする．また$x=b (\neq a)$で$f(a)=f(b)$が成り立つとする．$x=b$における$y=f(x)$の接線が$y$軸と交わる点を$(0,\ c)$とおく．もし$3$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$，$(0,\ c)$を$3$頂点とする三角形が二等辺三角形になるならば，接線の傾きは
\[ -2 \sqrt{[$27$][$28$]} \quad\text{または}\quad -\sqrt{[$29$][$30$]} \]
であり，それぞれに対応して，$c$の値は
\[ c-f(a)=-\sqrt{[$31$][$32$]}a \quad\text{または}\quad -\frac{\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}a \]
をみたす．

下図のような$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}={30}^\circ$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$，半径を$\sqrt{3}$とする．さらに，弧$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AP}=\mathrm{PC}$となる点$\mathrm{P}$をとる．次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BPC}$および$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．
(4)四角形$\mathrm{ABCP}$の面積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1$を満たす点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を考え，直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとる．ただし，$\mathrm{AB}>\mathrm{AP}$とする．

(1)$\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$のとき，$\displaystyle \mathrm{OP}=\frac{\sqrt{[サ]}}{[シ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{OBP}$が二等辺三角形であるとき，
\[ \mathrm{OP}^2=1,\quad \mathrm{AP}=\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}, \]
または
\[ \mathrm{OP}^2=[タ]+\frac{[チ]}{[ツ]} \sqrt{[テ]},\quad \mathrm{AP}=[ト]+\sqrt{[ナ]}, \]
または
\[ \mathrm{OP}^2=\frac{[ニ]}{[ヌ]},\quad \mathrm{AP}=\frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]} \]
である．ただし，
\[ \frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}<[ト]+\sqrt{[ナ]}<\frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]} \]
とする．
(3)座標空間に，$\mathrm{OC}=2$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$を満たす点$\mathrm{C}$をとる．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{CQ}$を下ろす．このとき，

$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{[ヒ]}}{[フ]}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$である．

各辺の長さが整数であるような三角形を考え，その$3$辺の長さを$x,\ y,\ z (x \leqq y \leqq z)$とする．また，$n$を自然数とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$z=n$であるような三角形の個数を$a_n$とするとき，$a_5$および$a_6$を求めよ．
(2)$(1)$の$a_n$を$n$の式で表せ．
(3)$z \leqq n$であるような三角形の個数を$b_n$とする．

(i) $b_n$を$n$の式で表せ．
(ii) $b_n>2015$となるような最小の自然数$n$を求めよ．

(4)$z=n$であるような三角形で二等辺三角形でないものの個数を$c_n$とするとき，$c_n$を$n$の式で表せ．

正$n$角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \cdots \mathrm{P}_n$（$n$は$4$以上の整数）を$K$とする．$K$の頂点と各辺の中点の合計$2n$個の点から異なる$3$点を選び，それらを線分で結んでできる図形を$T$とする．（ただし，$K$の$1$つの頂点とそれに隣接する中点の一方を結ぶ線分を$1$辺とする三角形，例えば辺$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}_1$として，三角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{M}_1 \mathrm{P}_3$なども「$K$と辺を共有する三角形」とする．）

(1)$n=5$とする．
$T$が三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウエ]}$である．
$T$が二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．
$T$が$K$と辺を共有しない三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(2)$T$が三角形となる確率は
\[ \frac{[コ]n^2-[サ]n-[シ]}{[ス]([セ]n-[ソ])(n-[タ])} \]
である．
$T$が$K$と辺を共有しない三角形となる確率は
\[ \frac{[チ]n^2-[ツテ]n+[トナ]}{([セ]n-[ソ])(n-[タ])} \]
である．

座標平面上に曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x}(x-t)(x-t-1)$（ただし$x>0,\ t>0$）がある．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ 0)$における接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}(t+1,\ 0)$における接線を$\ell_2$とし，$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{5}$の場合について考える．$\ell_1$の傾きは$[ア][イ]$，$\ell_2$の傾きは$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$であり，点$\mathrm{R}$の$y$座標は$\displaystyle -\frac{[オ]}{[カ]}$である．また，$\ell_1$，$\ell_2$および$C$によって囲まれた部分の面積は
\[ \frac{[キ]}{[ク][ケ]} \log [コ]-\frac{[サ][シ]}{[ス][セ]} \]
である．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が直交するのは$\displaystyle t=\frac{[ソ][タ]+\sqrt{[チ]}}{[ツ]}$のときである．また，$\triangle \mathrm{PQR}$が二等辺三角形となるのは$\displaystyle t=\frac{[テ]}{[ト]}$のときである．

原点を中心とする半径$5$の円周上に，$2$点$\mathrm{A}(0,\ -5)$，$\mathrm{B}(4,\ -3)$がある．

(1)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$1$]$である．
(2)円周上に，$\triangle \mathrm{ABC}$が二等辺三角形になるようにとった点$\mathrm{C}$の座標は$[$2$]$である．
(3)円に内接し，線分$\mathrm{AB}$にも接する円のうち，直径が最大の円の方程式は$[$3$]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$m$を整数とし，不定積分
\[ I=\int x^m \log x \, dx \]
を計算せよ．ただし，積分定数は省略してよい．
(2)$n$を$3$以上の自然数とする．正$n$角形の頂点から相異なる$3$点を選んで三角形を作るとき，その三角形が二等辺三角形となる場合の数を$a_n$とする．

(i) $a_6,\ a_7$をそれぞれ求めよ．
(ii) 自然数$k$に対して，$a_{6k},\ a_{6k+1}$をそれぞれ$k$を用いて表せ．

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=8$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{BC}$上にあり，$\angle \mathrm{BAP}=\theta$，$\angle \mathrm{PAC}=2\theta$，$\displaystyle \cos \theta=\frac{7}{8}$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(2)$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めよ．
(3)$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．