「二等辺三角形」について
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国立 防衛医科大学校 2016年 第3問四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\triangle \mathrm{BCD}$は$1$辺の長さが$2 \sqrt{2}$の正三角形，その他$3$つの三角形は$2$辺の長さが$4$の二等辺三角形である．辺$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{I}$，辺$\mathrm{AC}$を$5:1$に外分する点を$\mathrm{K}$，辺$\mathrm{BC}$と$\mathrm{IK}$の交点を$\mathrm{J}$として，以下の問に答えよ．
(1)$\mathrm{BJ}:\mathrm{JC}$，$\mathrm{IJ}:\mathrm{JK}$はそれぞれいくらか．
(2)$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{G}$，$\mathrm{B}$から$\triangle \mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{AG}$，$\mathrm{BH}$の長さはいくらか．
(3)四面体$\mathrm{JCDK}$の体積はいくらか．
(1)$\mathrm{BJ}:\mathrm{JC}$，$\mathrm{IJ}:\mathrm{JK}$はそれぞれいくらか．
(2)$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{G}$，$\mathrm{B}$から$\triangle \mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{AG}$，$\mathrm{BH}$の長さはいくらか．
(3)四面体$\mathrm{JCDK}$の体積はいくらか．
国立 茨城大学 2016年 第3問複素数平面上で，複素数$z$に対応する点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(z)$と表す．$3$点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(1)$，$\mathrm{B}(\beta)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$がある．ただし，複素数$\beta$の偏角$\theta$は，$0<\theta<\pi$を満たすとする．また，$s$と$t$は$4s-t^2>0$を満たす実数とする．等式
\[ \beta^2-t \beta+s=0 \]
が成り立つとき，以下の各問に答えよ．
(1)複素数$\beta$の実部と虚部をそれぞれ$s$と$t$を用いて表せ．
(2)複素数$\beta$の絶対値と，偏角$\theta$に対する$\sin \theta$を，それぞれ$s$と$t$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$が二等辺三角形になるために$s$と$t$が満たすべき条件を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$が$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}$である二等辺三角形とする．このとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{4}$となる$s$と$t$の値の組をすべて求めよ．
\[ \beta^2-t \beta+s=0 \]
が成り立つとき，以下の各問に答えよ．
(1)複素数$\beta$の実部と虚部をそれぞれ$s$と$t$を用いて表せ．
(2)複素数$\beta$の絶対値と，偏角$\theta$に対する$\sin \theta$を，それぞれ$s$と$t$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$が二等辺三角形になるために$s$と$t$が満たすべき条件を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$が$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}$である二等辺三角形とする．このとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{4}$となる$s$と$t$の値の組をすべて求めよ．
私立 工学院大学 2016年 第3問$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}={72}^\circ$，$\mathrm{BC}=2$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{B}$の二等分線と辺$\mathrm{CA}$との交点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{E}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{DA}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)線分$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．
(4)$\cos {36}^\circ$の値を求めよ．
(1)線分$\mathrm{DA}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
(3)線分$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．
(4)$\cos {36}^\circ$の値を求めよ．
私立 昭和薬科大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)赤球と白球を合わせて$13$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．$2$個の球が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{7}{13}$であるとき，この袋には$[ア]$個の赤球が入っている．ただし，赤球の個数は白球の個数より多いとする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形であり，$\mathrm{BC}=2$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(3)不等式$\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(2x-3)^2} \leqq 4$の解は$\displaystyle [エ] \leqq x \leqq \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(4)分母が$12$である正の既約分数を値が小さい順に並べた数列
\[ \frac{1}{12},\ \frac{5}{12},\ \frac{7}{12},\ \frac{11}{12},\ \frac{13}{12},\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_4=[キ]$及び$S_8=[ク]$であり，
$\displaystyle S_{39}=\frac{\kakkofour{ケ}{コ}{サ}{シ}}{[ス][セ]}$である．
(5)$\displaystyle \left( \displaystyle\frac{1}{45} \right)^{100}$を小数で表したとき，小数第$[ソ][タ][チ]$位に初めて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(6)$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_1^x y^2(y-3) \, dy$は$x=[ツ]$のとき最小値$[テ][ト]$をとる．
(1)赤球と白球を合わせて$13$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．$2$個の球が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{7}{13}$であるとき，この袋には$[ア]$個の赤球が入っている．ただし，赤球の個数は白球の個数より多いとする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形であり，$\mathrm{BC}=2$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(3)不等式$\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(2x-3)^2} \leqq 4$の解は$\displaystyle [エ] \leqq x \leqq \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(4)分母が$12$である正の既約分数を値が小さい順に並べた数列
\[ \frac{1}{12},\ \frac{5}{12},\ \frac{7}{12},\ \frac{11}{12},\ \frac{13}{12},\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_4=[キ]$及び$S_8=[ク]$であり，
$\displaystyle S_{39}=\frac{\kakkofour{ケ}{コ}{サ}{シ}}{[ス][セ]}$である．
(5)$\displaystyle \left( \displaystyle\frac{1}{45} \right)^{100}$を小数で表したとき，小数第$[ソ][タ][チ]$位に初めて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(6)$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_1^x y^2(y-3) \, dy$は$x=[ツ]$のとき最小値$[テ][ト]$をとる．
公立 名古屋市立大学 2016年 第4問$2$次関数$y=-x^2+2x+4 (-2 \leqq x \leqq 3)$の表す曲線において，$x=-2$，$x=3$での端点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．また，点$\mathrm{C}$をこの曲線上の点とする．次の問いに答えよ．
(1)この関数のグラフをかけ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$15$となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$の二等辺三角形となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(1)この関数のグラフをかけ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$15$となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$の二等辺三角形となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
国立 金沢大学 2015年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$において，$3$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$はどの$2$つも互いに垂直であり，$h>0$に対して，
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=h \]
とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面上の点$\mathrm{P}$は，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$のどちらとも垂直となる点であるとする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，$\alpha$と$\beta$を$h$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$が直交していることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$は，辺$\mathrm{AB}$を底辺とする二等辺三角形ではないことを示せ．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=h \]
とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面上の点$\mathrm{P}$は，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$のどちらとも垂直となる点であるとする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，$\alpha$と$\beta$を$h$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$が直交していることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$は，辺$\mathrm{AB}$を底辺とする二等辺三角形ではないことを示せ．
国立 香川大学 2015年 第2問図$1$のように，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$内に，半径が等しい$2$つの円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が次の$2$つの条件を満たすように置かれているとする．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
国立 香川大学 2015年 第2問図$1$のように，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$内に，半径が等しい$2$つの円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が次の$2$つの条件を満たすように置かれているとする．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
国立 香川大学 2015年 第2問図$1$のように，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$内に，半径が等しい$2$つの円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が次の$2$つの条件を満たすように置かれているとする．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
国立 香川大学 2015年 第2問図$1$のように，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$内に，半径が等しい$2$つの円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が次の$2$つの条件を満たすように置かれているとする．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．