$N$を$3$以上の自然数とする．$1$から$N$までの数字が書かれた$N$枚のカードを用意し，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の二人で次のようなゲームを行う．まず$\mathrm{A}$は，$1$から$N$までの数のうちから一つ選びそれを$K$とし，その数は$\mathrm{B}$に知らせずにおく．その後，以下の試行を何度も繰り返す．

$\mathrm{B}$は$N$枚のカードから無作為に一枚引いて$\mathrm{A}$にその数を伝え，$\mathrm{A}$は引かれた数字が$K$より大きければ「上」，$K$以下であれば「以下」と$\mathrm{B}$に答え，$\mathrm{B}$はその答から$K$の範囲を絞り込む．引いたカードは元へ戻す．
このとき，$n$回以下の試行で$\mathrm{B}$が$K$を確定できる確率を$P_N(n)$で表す．次の問に答えよ．

(1)$K=1$のとき，$P_3(1)$，$P_3(2)$，$P_3(3)$を求めよ．
(2)$K=2$のとき，$P_3(1)$，$P_3(2)$，$P_3(3)$を求めよ．
(3)$K=1,\ 2,\ \cdots,\ N$について$P_N(n)$を求めよ．
(4)自然数$c$に対して，極限値$\displaystyle \lim_{N \to \infty} P_N(cN)$を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の二人がそれぞれサイコロを投げ，出た目を$1$回毎に記録する．$\mathrm{A}$はそれまでに出た目の積が$3$の倍数になった時点で，$\mathrm{B}$はそれまでに出た目の和が$3$の倍数になった時点で試行を打ち切る．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の試行がちょうど$n$回目で打ち切られる確率をそれぞれ$a_n$，$b_n$とする．

(1)$\displaystyle a_1=\frac{[さ]}{[し]},\ b_1=\frac{[す]}{[せ]}$である．

(2)$\displaystyle a_n=\frac{[そ]}{[た]} \left( \frac{[ち]}{[つ]} \right)^{n-1}$である．

円卓の周りに並べられた$n$席の座席に$m$人の人が座るとき，どの二人も隣り合わない確率を$P(n,\ m)$とする．ただし$\displaystyle 2 \leqq m \leqq \frac{n}{2}$とし，どの空席も同じ確率で選ぶものとする．

(1)$P(n,\ 2)$を$n$を用いて表せ．
(2)$P(n,\ m)$を$n,\ m$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{m \to \infty}P(m^2,\ m)$を求めよ．

AとBの二人が，$1,\ 2,\ 3,\ 4$の番号が1つずつ書かれた4枚のカードをそれぞれ持っているとする．お互いが自分のカードのうちから1枚を選んで同時に出す．次に，手元に残された3枚からまた1枚を選んで同時に出す．これをお互いの手持ちのカードがなくなるまでくり返す．この4回の試行について，次の問いに答えよ．

(1)4回の試行のすべてで，AとBが出したカードの番号が一致する確率を求めよ．
(2)4回の試行のうちちょうど2回で，AとBが出したカードの番号が一致する確率を求めよ．
(3)4回の試行のうちちょうど1回で，AとBが出したカードの番号が一致する確率を求めよ．
(4)4回の試行で，AとBが出したカードの番号が1回も一致しない確率を求めよ．