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宮崎大学 国立 宮崎大学 2013年 第2問
次の各問に答えよ.

(1)方程式$2 \cdot 8^x-3 \cdot 4^{x+1}+5 \cdot 2^{x+1}+24=0$を満たすような実数$x$をすべて求めよ.
(2)数列$\{a_n\}$が,$a_1=\sin^2 \theta,\ a_{n+1}=4a_n(1-a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められているとき,次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ.

(i) $a_2$と$a_3$を,$\theta$を用いて表せ.
(ii) $a_n$が$\theta$と$n$を用いてどのように表されるのか予想し,それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ.
宮崎大学 国立 宮崎大学 2012年 第2問
数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=\frac{1}{3}, a_{n+1}=\frac{1}{3-2a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき,次の各問に答えよ.

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$の値を求めよ.
(2)一般項$a_n$を予想し,それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ.
横浜市立大学 公立 横浜市立大学 2010年 第1問
以下の問いに答えよ.

(1)$4$次方程式
\[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \]
を考える.ただし,$a,\ b,\ c,\ d,\ e$は定数で,$a \neq 0$とする.$x=t+\alpha$($\alpha$は定数)とおいて,$t$に関する$4$次方程式
\[ t^4+Ct^2+Dt+E=0 \]
の形にする.このとき$D=0$となる条件式を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ.
(2)$R$を正の実数とする.極限値
\[ \lim_{R \to \infty} \int_1^{R^2} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2} \, dx \]
を求めよ.
(3)地震のエネルギー$(E)$とマグニチュード$(M)$の間には
\[ \log_{10}E=4.8+1.5M \]
の関係がある(単位系は省略).$2009$年$8$月に起きた駿河湾地震のマグニチュードは$6.5$であり,気象庁によればこの地震は予想されている東海地震とは異なる.東海地震のマグニチュードは$8$程度と想定されており,それを$8.0$と仮定してこの二つの地震のエネルギーの比を求めたい.駿河湾地震のエネルギーを$E_S$,東海地震のそれを$E_T$とおき
\[ \frac{E_T}{E_S} \]
を求めよ.簡単のために近似値$10^3 \fallingdotseq 2^{10}$,$\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41$を用いて計算し,小数点以下は切り捨てること.
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