「中身」について
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私立 早稲田大学 2015年 第4問棚に包装された製品が$n$個（$n \geqq 4$）並んでいるが，そのうち$2$個が不良品だということがわかっている．$n$個の製品はすでに包装されているため，外見からはどれが不良品かどうかを区別することはできない．今，どの$2$個が不良品かを見つけるために，$n$個の製品のうち$1$個を取り出し，包装を解き，中身をチェックする．中身が不良品だった場合は，別に置いてあったすでに包装された良品と交換し，もとにあった場所に戻す．中身が不良品でなかった場合は，製品を包装し直した上でもとにあった場所に戻す．$1$個目の製品のチェックが終わったら，棚の別の製品も同様にチェックし，この作業を$2$個の不良品が見つかるまで繰り返し，$2$個目の不良品を交換した時点で終了する．包装された良品と交換する費用は製品$1$個につき$1000$円，製品を包装し直す費用は製品$1$個につき$100$円である．
(1)$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である．
(2)$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である．
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である．
(1)$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である．
(2)$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である．
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である．
国立 東京大学 2014年 第2問$a$を自然数（すなわち$1$以上の整数）の定数とする．白球と赤球があわせて$1$個以上入っている袋$\mathrm{U}$に対して，次の操作$(*)$を考える．
\mon[$(*)$] 袋$\mathrm{U}$から球を$1$個取り出し，
(i) 取り出した球が白球のときは，袋$\mathrm{U}$の中身が白球$a$個，赤球$1$個となるようにする．
(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋$\mathrm{U}$へ戻すことなく，袋$\mathrm{U}$の中身はそのままにする．
はじめに袋$\mathrm{U}$の中に，白球が$a+2$個，赤球が$1$個入っているとする．この袋$\mathrm{U}$に対して操作$(*)$を繰り返し行う．
たとえば，$1$回目の操作で白球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個，赤球$1$個となり，さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる．
$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする．ただし，袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対して$p_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{n=1}^m p_n$を求めよ．
\mon[$(*)$] 袋$\mathrm{U}$から球を$1$個取り出し，
(i) 取り出した球が白球のときは，袋$\mathrm{U}$の中身が白球$a$個，赤球$1$個となるようにする．
(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋$\mathrm{U}$へ戻すことなく，袋$\mathrm{U}$の中身はそのままにする．
はじめに袋$\mathrm{U}$の中に，白球が$a+2$個，赤球が$1$個入っているとする．この袋$\mathrm{U}$に対して操作$(*)$を繰り返し行う．
たとえば，$1$回目の操作で白球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個，赤球$1$個となり，さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる．
$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする．ただし，袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対して$p_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{n=1}^m p_n$を求めよ．
国立 東京大学 2014年 第2問$a$を自然数（すなわち$1$以上の整数）の定数とする．白球と赤球があわせて$1$個以上入っている袋$\mathrm{U}$に対して，次の操作$(*)$を考える．
\mon[$(*)$] 袋$\mathrm{U}$から球を$1$個取り出し，
(i) 取り出した球が白球のときは，袋$\mathrm{U}$の中身が白球$a$個，赤球$1$個となるようにする．
(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋$\mathrm{U}$へ戻すことなく，袋$\mathrm{U}$の中身はそのままにする．
はじめに袋$\mathrm{U}$の中に，白球が$a+2$個，赤球が$1$個入っているとする．この袋$\mathrm{U}$に対して操作$(*)$を繰り返し行う．
たとえば，$1$回目の操作で白球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個，赤球$1$個となり，さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる．
$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする．ただし，袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対して$p_n$を求めよ．
\mon[$(*)$] 袋$\mathrm{U}$から球を$1$個取り出し，
(i) 取り出した球が白球のときは，袋$\mathrm{U}$の中身が白球$a$個，赤球$1$個となるようにする．
(ii) 取り出した球が赤球のときは，その球を袋$\mathrm{U}$へ戻すことなく，袋$\mathrm{U}$の中身はそのままにする．
はじめに袋$\mathrm{U}$の中に，白球が$a+2$個，赤球が$1$個入っているとする．この袋$\mathrm{U}$に対して操作$(*)$を繰り返し行う．
たとえば，$1$回目の操作で白球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個，赤球$1$個となり，さらに$2$回目の操作で赤球が出たとすると，袋$\mathrm{U}$の中身は白球$a$個のみとなる．
$n$回目に取り出した球が赤球である確率を$p_n$とする．ただし，袋$\mathrm{U}$の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$n \geqq 3$に対して$p_n$を求めよ．