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国立 千葉大学 2015年 第4問平面上に$2$つの円
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり，点$(-1,\ 0)$で接している．
点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き，点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く．二点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する．$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り，$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり，点$(-1,\ 0)$で接している．
点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き，点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く．二点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する．$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り，$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第1問三角形$\mathrm{OAB}$があり，$0<p<1$，$0<q<1$として，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OE}$，$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第1問三角形$\mathrm{OAB}$があり，$0<p<1$，$0<q<1$として，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OE}$，$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第2問三角形$\mathrm{OAB}$があり，$0<p<1$，$0<q<1$として，辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OE}$，$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$p,\ q,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$は一直線上にあることを示せ．
(3)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{2}{3} \pi$に対して
\[ \mathrm{GF}:\mathrm{GH}=7:2,\quad \mathrm{AB} \perp \mathrm{GF} \]
となるとき，$p$と$q$の値を求めよ．
国立 山梨大学 2015年 第3問下の図のように，$\mathrm{ABCDE}$を頂点とする正五角形$P_1$を考える．$P_1$の各辺の中点をとり，その中点を順に結び正五角形$P_2$をつくる．さらに，正五角形$P_2$の各辺の中点をとり，その中点を順に結び正五角形$P_3$をつくる．以下，これを繰り返す．正五角形$P_1$の一辺の長さを$1$，正五角形$P_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の一辺の長さを$a_n$としたとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\triangle \mathrm{ACD}$と$\triangle \mathrm{DFC}$が相似であることを証明せよ．
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
（図は省略）
(1)対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\triangle \mathrm{ACD}$と$\triangle \mathrm{DFC}$が相似であることを証明せよ．
(2)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)$a_n$を$n$の式で表せ．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第7問次の各問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(1)方程式$z^4=-1$を解け．
(2)$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする．複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta|=\sqrt{2} |z-\alpha|$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき，複素数$\beta$を$\alpha$で表せ．
(3)点$z$が$(2)$の円$C$上を動くとき，点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか．
(1)方程式$z^4=-1$を解け．
(2)$\alpha$を方程式$z^4=-1$の解の一つとする．複素数平面に点$\beta$があって$|z-\beta|=\sqrt{2} |z-\alpha|$を満たす点$z$全体が原点を中心とする円$C$を描くとき，複素数$\beta$を$\alpha$で表せ．
(3)点$z$が$(2)$の円$C$上を動くとき，点$i$と$z$を結ぶ線分の中点$w$はどのような図形を描くか．
国立 宮城教育大学 2015年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$は平面$\mathrm{OBC}$に直交し，
\[ \mathrm{OA}=\sqrt{6},\quad \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1 \]
であるとする．四面体$\mathrm{OABC}$の内部の点$\mathrm{P}$から，平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PD}$，平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PE}$，平面$\mathrm{OAC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PF}$，平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PG}$とする．ここで，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$はそれぞれ平面$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OAC}$，$\mathrm{ABC}$上の点である．$3$つの線分$\mathrm{PD}$，$\mathrm{PE}$，$\mathrm{PF}$の長さは等しく，その長さを$R$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{H}$とすると，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{OH}$上にあり，点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AH}$上にある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$R$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PG}$の長さが$R$であるとき，$R$の値を求めよ．
\[ \mathrm{OA}=\sqrt{6},\quad \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1 \]
であるとする．四面体$\mathrm{OABC}$の内部の点$\mathrm{P}$から，平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PD}$，平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PE}$，平面$\mathrm{OAC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PF}$，平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PG}$とする．ここで，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$はそれぞれ平面$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OAC}$，$\mathrm{ABC}$上の点である．$3$つの線分$\mathrm{PD}$，$\mathrm{PE}$，$\mathrm{PF}$の長さは等しく，その長さを$R$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{H}$とすると，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{OH}$上にあり，点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AH}$上にある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$R$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PG}$の長さが$R$であるとき，$R$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2015年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$は平面$\mathrm{OBC}$に直交し，
\[ \mathrm{OA}=\sqrt{6},\quad \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1 \]
であるとする．四面体$\mathrm{OABC}$の内部の点$\mathrm{P}$から，平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PD}$，平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PE}$，平面$\mathrm{OAC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PF}$，平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PG}$とする．ここで，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$はそれぞれ平面$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OAC}$，$\mathrm{ABC}$上の点である．$3$つの線分$\mathrm{PD}$，$\mathrm{PE}$，$\mathrm{PF}$の長さは等しく，その長さを$R$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{H}$とすると，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{OH}$上にあり，点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AH}$上にある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$R$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PG}$の長さが$R$であるとき，$R$の値を求めよ．
\[ \mathrm{OA}=\sqrt{6},\quad \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1 \]
であるとする．四面体$\mathrm{OABC}$の内部の点$\mathrm{P}$から，平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PD}$，平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PE}$，平面$\mathrm{OAC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PF}$，平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PG}$とする．ここで，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$はそれぞれ平面$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OAC}$，$\mathrm{ABC}$上の点である．$3$つの線分$\mathrm{PD}$，$\mathrm{PE}$，$\mathrm{PF}$の長さは等しく，その長さを$R$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{H}$とすると，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{OH}$上にあり，点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AH}$上にある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$R$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PG}$の長さが$R$であるとき，$R$の値を求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第6問平面上に$2$つの円
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり，点$(-1,\ 0)$で接している．
点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き，点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く．二点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する．$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り，$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり，点$(-1,\ 0)$で接している．
点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き，点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く．二点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する．$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り，$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 秋田大学 2015年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$，$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とする．点$\mathrm{D}$を$\mathrm{BC}$の中点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AD}$上の点とし，$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=t:(1-t)$とするとき，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AD}$上の動点とする．$\mathrm{OP}$の長さが最小となるとき，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \theta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$を以下の$①$～$③$を満たすように定める．このとき$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \theta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表せ．
\mon[$①$] 四面体$\mathrm{OABC}$の体積と四面体$\mathrm{QABC}$の体積は等しい
\mon[$②$] $\mathrm{QA}=\mathrm{QB}=\mathrm{QC}$
\mon[$③$] 線分$\mathrm{OQ}$は$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が定める平面と交点をもたない．
(1)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AD}$上の点とし，$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=t:(1-t)$とするとき，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AD}$上の動点とする．$\mathrm{OP}$の長さが最小となるとき，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \theta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$を以下の$①$～$③$を満たすように定める．このとき$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \theta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表せ．
\mon[$①$] 四面体$\mathrm{OABC}$の体積と四面体$\mathrm{QABC}$の体積は等しい
\mon[$②$] $\mathrm{QA}=\mathrm{QB}=\mathrm{QC}$
\mon[$③$] 線分$\mathrm{OQ}$は$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が定める平面と交点をもたない．