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国立 宮崎大学 2016年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$，$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=5:4$とする．辺$\mathrm{BC}$の点$\mathrm{C}$側の延長上に，$\mathrm{CA}=\mathrm{CD}$となる点$\mathrm{D}$をとる．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とし，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AD}$に下した垂線を$\mathrm{BF}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$\mathrm{EF}=\mathrm{EC}$を示せ．
(2)面積比$\triangle \mathrm{ABC}:\triangle \mathrm{CEF}$を求めよ．
(1)$\mathrm{EF}=\mathrm{EC}$を示せ．
(2)面積比$\triangle \mathrm{ABC}:\triangle \mathrm{CEF}$を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$，$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=5:4$とする．辺$\mathrm{BC}$の点$\mathrm{C}$側の延長上に，$\mathrm{CA}=\mathrm{CD}$となる点$\mathrm{D}$をとる．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とし，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AD}$に下した垂線を$\mathrm{BF}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$\mathrm{EF}=\mathrm{EC}$を示せ．
(2)面積比$\triangle \mathrm{ABC}:\triangle \mathrm{CEF}$を求めよ．
(1)$\mathrm{EF}=\mathrm{EC}$を示せ．
(2)面積比$\triangle \mathrm{ABC}:\triangle \mathrm{CEF}$を求めよ．
国立 弘前大学 2016年 第2問三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$の比に内分する点を$\mathrm{X}$，辺$\mathrm{OB}$を$y:(1-y)$の比に内分する点を$\mathrm{Y}$とする．ただし$0<x<1$，$0<y<1$とする．線分$\mathrm{YA}$と線分$\mathrm{XB}$の交点を$\mathrm{Z}$とする．
(1)点$\mathrm{Z}$が線分$\mathrm{XB}$を$s:(1-s)$の比に内分しているとする．$s$を$x$と$y$を用いて表せ．
(2)辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{Z}$が線分$\mathrm{CD}$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ．
(1)点$\mathrm{Z}$が線分$\mathrm{XB}$を$s:(1-s)$の比に内分しているとする．$s$を$x$と$y$を用いて表せ．
(2)辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{Z}$が線分$\mathrm{CD}$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ．
国立 九州工業大学 2016年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$の面はすべて合同であり，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=8$，$\mathrm{AB}=7$である．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，$\alpha$上の点$\mathrm{H}$を直線$\mathrm{CH}$と$\alpha$が垂直になるように選ぶ．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$(2)$の点$\mathrm{H}$に対して，線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V_1$を求めよ．また，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{D}$とし，さらに辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AE}+\mathrm{ED}$が最小となるようにとる．このとき，四面体$\mathrm{OAED}$の体積$V_2$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，$\alpha$上の点$\mathrm{H}$を直線$\mathrm{CH}$と$\alpha$が垂直になるように選ぶ．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$(2)$の点$\mathrm{H}$に対して，線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V_1$を求めよ．また，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{D}$とし，さらに辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AE}+\mathrm{ED}$が最小となるようにとる．このとき，四面体$\mathrm{OAED}$の体積$V_2$を求めよ．
国立 長崎大学 2016年 第1問半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある．その面積を$S$とする．$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる．さらに，$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる．このように，$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる（$n \geqq 2$）．$D_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
国立 長崎大学 2016年 第1問半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある．その面積を$S$とする．$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる．さらに，$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる．このように，$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる（$n \geqq 2$）．$D_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
国立 奈良女子大学 2016年 第1問四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=5$，$\mathrm{BC}=\mathrm{BD}=4$，$\mathrm{CD}=6$であるとする．次の問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{BCD}$の面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
(3)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AM}$へ下ろした垂線と直線$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，線分$\mathrm{BH}$の長さを求めよ．
(1)三角形$\mathrm{BCD}$の面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
(3)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AM}$へ下ろした垂線と直線$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，線分$\mathrm{BH}$の長さを求めよ．
国立 長岡技術科学大学 2016年 第1問放物線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$がある．ただし，$a>b$とする．直線$\mathrm{AB}$と放物線とで囲まれる部分の面積を$S$とする．下の問いに答えなさい．
(1)$a=b+1$とするとき，$S$を求めなさい．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle S=\frac{1}{6}$という条件を満たしながら動くとき，線分$\mathrm{AB}$の中点の軌跡を求めなさい．
(1)$a=b+1$とするとき，$S$を求めなさい．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle S=\frac{1}{6}$という条件を満たしながら動くとき，線分$\mathrm{AB}$の中点の軌跡を求めなさい．
国立 長崎大学 2016年 第1問半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある．その面積を$S$とする．$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる．さらに，$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる．このように，$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる（$n \geqq 2$）．$D_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
国立 山梨大学 2016年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$|\overrightarrow{a|}=2$，$|\overrightarrow{b|}=\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{c|}=1$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2$，$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{4}{3}$，$\displaystyle \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=\frac{4}{3}$を満たすとする．点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．このとき，直線$\mathrm{CH}$と直線$\mathrm{ON}$が交わることを示せ．また，その$2$直線の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{CP}:\mathrm{PH}$を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AM}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．このとき，直線$\mathrm{CH}$と直線$\mathrm{ON}$が交わることを示せ．また，その$2$直線の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{CP}:\mathrm{PH}$を求めよ．