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神戸大学 国立 神戸大学 2016年 第1問
四面体$\mathrm{OABC}$において,$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{OA}$の中点,$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点,$\mathrm{R}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を通る平面と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{S}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく.以下の問に答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$,$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)比$|\overrightarrow{\mathrm{AS|}}:|\overrightarrow{\mathrm{SC|}}$を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$を$1$辺の長さが$1$の正四面体とするとき,$|\overrightarrow{\mathrm{QS|}}$を求めよ.
神戸大学 国立 神戸大学 2016年 第1問
四面体$\mathrm{OABC}$において,$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{OA}$の中点,$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点,$\mathrm{R}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を通る平面と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{S}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく.以下の問に答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$,$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)比$|\overrightarrow{\mathrm{AS|}}:|\overrightarrow{\mathrm{SC|}}$を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$を$1$辺の長さが$1$の正四面体とするとき,$|\overrightarrow{\mathrm{QS|}}$を求めよ.
北海道大学 国立 北海道大学 2016年 第1問
$a,\ b,\ c$を実数とし,
\[ f(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
とおく.曲線$C:y=f(x)$上に異なる$2$点$\mathrm{P}(s,\ f(s))$,$\mathrm{Q}(t,\ f(t))$がある.

(1)$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ.
(2)$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線が平行になるための条件を$s,\ t,\ a$の関係式として求めよ.
(3)$(2)$の条件のもとで,線分$\mathrm{PQ}$の中点が$C$上にあることを示せ.
金沢大学 国立 金沢大学 2016年 第1問
座標空間内に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(3,\ 3,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 6,\ 0)$をとり,さらに$1<a<3$を満たす定数$a$に対して点$\mathrm{P}(t,\ ta,\ ta)$をとる.ただし,$t$は$t>0$の範囲を動くものとする.次の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{P}$から$xy$平面に垂線$\mathrm{PH}$を下ろす.点$\mathrm{H}$の座標を求めよ.
(2)点$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{AB}$上にあるときの$t$の値を求め,そのときの点$\mathrm{H}$の座標を$a$を用いて表せ.



以下,点$\mathrm{H}$は線分$\mathrm{AB}$上にあるとする.


\mon[$(3)$] 点$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする.$\mathrm{AH}:\mathrm{HM}$の比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HM}}$を求めよ.
\mon[$(4)$] 四面体$\mathrm{OPMH}$の体積が$2$となるような$a$の値を求めよ.
岐阜大学 国立 岐阜大学 2016年 第5問
$\triangle \mathrm{OAB}$において,辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$,辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$,線分$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{E}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする.以下の問に答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)直線$\mathrm{CE}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{CF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3)辺$\mathrm{AB}$を$7:1$に外分する点を$\mathrm{G}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{EG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(4)内積$\overrightarrow{\mathrm{CE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$を$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$となる直角二等辺三角形とするとき,$\angle \mathrm{CEG}$の大きさを求めよ.
山形大学 国立 山形大学 2016年 第3問
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$,$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$,$\mathrm{AC}=2$とする.辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$があり,$\mathrm{AP}=\sqrt{3}$とする.また,辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$,線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ.
山形大学 国立 山形大学 2016年 第2問
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$,$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$,$\mathrm{AC}=2$とする.辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$があり,$\mathrm{AP}=\sqrt{3}$とする.また,辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$,線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ.
山形大学 国立 山形大学 2016年 第3問
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$,$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$,$\mathrm{AC}=2$とする.辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$があり,$\mathrm{AP}=\sqrt{3}$とする.また,辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$,線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ.
山形大学 国立 山形大学 2016年 第1問
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$,$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$,$\mathrm{AC}=2$とする.辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$があり,$\mathrm{AP}=\sqrt{3}$とする.また,辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$,線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積$T$を求めよ.
筑波大学 国立 筑波大学 2016年 第3問
四面体$\mathrm{OABC}$において,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく.このとき等式
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=1 \]
が成り立つとする.$t$は実数の定数で,$0<t<1$を満たすとする.線分$\mathrm{OA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし,線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.また,線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ.
(2)線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BM}$の長さが等しいとき,線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ.
(3)$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が点$\mathrm{M}$を中心とする同一球面上にあるとする.このとき,$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OCB}$は合同であることを示せ.
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「中点」とは・・・

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