$(1)$～$(5)$において，$\nagamaruA$，$\nagamaruB$，$\nagamaruC$の値の大小関係を調べ，最大のものと最小のものを答えよ．

(1)$\{1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 6,\ 7\}$の，
$\nagamaruA$ 平均値 \qquad $\nagamaruB$ 中央値（メジアン） \quad $\nagamaruC$ 最頻値（モード）
(2)$\theta$が第$2$象限の角で，$\displaystyle \sin \theta=\frac{2}{3}$のとき，
$\displaystyle \nagamaruA \sin \left( \theta-\frac{\pi}{2} \right)$ \qquad $\nagamaruB \cos \theta$ \qquad $\nagamaruC \tan \theta$
(3)$\nagamaruA$ 半径$4$，面積$4 \pi$の扇形の弧の長さ
$\nagamaruB$ 半径$5$，中心角$\displaystyle \frac{\pi}{2}$の扇形の弧の長さ
$\nagamaruC$ 半径$6$，中心角${72}^\circ$の扇形の弧の長さ
(4)$2x^3+x^2-8x-3$を$x+2$で割ったときの商を$f(x)$としたとき，
$\nagamaruA f(0)$ \qquad $\nagamaruB f(1)$ \qquad $\nagamaruC f(2)$
(5)$f(x)=x^3-x^2-5x+5$のとき，
$\displaystyle \nagamaruA f \left( -\frac{2236}{1001} \right)$ \qquad $\displaystyle \nagamaruB f \left( \frac{98}{299} \right)$ \qquad $\displaystyle \nagamaruC f\left( \frac{502}{301} \right)$

三角形$\mathrm{ABC}$について，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=8$とする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[アイ] \]
である．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{[ウ]}{[エオ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[カ]}{[キク]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．

また，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$，外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると


$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{[ス]}{[セソ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[タチ]}{[ツテ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$


である．
したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OI|}}^2=\frac{[ト]}{[ナ]} \]
である．
三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の周上を動く点$\mathrm{P}$と内接円の周上を動く点$\mathrm{Q}$があるとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値は
\[ \frac{[ニヌ]+\sqrt{[ネ]}}{\sqrt{[ノ]}} \]
である．

空間において，方程式$x^2+y^2+z^2-2x-8y-4z-28=0$で表される曲面を$C$とする．このとき，$C$は中心$([ウ],\ [エ],\ [オ])$，半径$[カ]$の球面である．また，$C$上の点$(-5,\ 6,\ 5)$で接する平面と$z$軸との交点の座標は$(0,\ 0,\ [キク])$である．

座標空間において$\mathrm{N}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{P}(a,\ b,\ 0)$とする．原点を中心とする半径$1$の球面と直線$\mathrm{NP}$との$\mathrm{N}$以外の交点を$\mathrm{Q}(x,\ y,\ z)$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{NQ}}=t \overrightarrow{\mathrm{NP}}$をみたす実数$t$を$a,\ b$で表せ．
(2)$x,\ y,\ z$を，それぞれ$a,\ b$で表せ．
(3)$a,\ b$を，それぞれ$x,\ y,\ z$で表せ．

$3$点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 4,\ -1)$を通る平面$\alpha$に対して，以下の問に答えよ．

(1)平面$\alpha$の方程式を$ax+by+cz=6$としたとき，$a=[ナ]$，$b=[ニ]$，$c=[ヌ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \frac{[ネ]}{[ノ]},\ \frac{[ハ]}{[ヒ]},\ \frac{[フ]}{[ヘ]} \right) \]
である．
(3)平面$\alpha$上に点$\mathrm{A}$を中心とした半径$\sqrt{2}$の円$\beta$を考える．点$\mathrm{P}$が円$\beta$上を動くとき，$\mathrm{OP}$の最小値は$\sqrt{[ホマ]}$である．

次の空欄を適当に補え．

(1)方程式$x^2+y=63$を満たす自然数の組$(x,\ y)$は$[　]$組ある．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-2,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(2,\ -1)$がある．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{c}$と平行となるのは$t=[　]$のときである．
(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．不等式$\sqrt{3} \sin x+\cos x>\sqrt{3}$を解くと，$x$の値の範囲は$[　]$である．
(4)$S=1+2r^2+3r^4+4r^6+\cdots +10r^{18}$とする．$r=\sqrt{2}$のとき，$S$の値を求めると$[　]$である．
(5)赤，青，黄のカードが$2$枚ずつある．この$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人に$2$枚ずつ配るとき，どの人の$2$枚についてもその色が異なる確率は$[　]$である．
(6)複素数平面で，方程式
\[ z \overline{z}-iz+i \overline{z}-9=0 \]
で定まる円の中心を表す複素数は$[　]$であり，半径は$[　]$である．ただし，$i$は虚数単位である．

円$C:x^2+y^2-4y+3=0$と直線$\ell:2ax-y-2a=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるときの，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$\sqrt{2}$となる$a$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，内心を$\mathrm{I}$，外心を$\mathrm{O}$，内接円の半径を$r$，外接円の半径を$R$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とするとき，$\angle \mathrm{BIC}$を$\alpha$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との$\mathrm{A}$でない交点を$\mathrm{D}$とするとき，$3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$は$\mathrm{D}$を中心とする同一円周上にあることを証明せよ．
(3)$2$点$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$の距離を$d$とする．$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$のとき，等式$(R+d)(R-d)=2rR$および不等式$R \geqq 2r$を証明せよ．
(4)$\mathrm{AB} \neq \mathrm{AC}$のとき，不等式$R>2r$を証明せよ．

中心$\mathrm{O}$，半径$2$の円に内接する$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，$\mathrm{CD}$をこの円の直径とし，$\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{p}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{p}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{p}$が成り立つとき，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求め，$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(3)$k$が実数で$\overrightarrow{c}=k \overrightarrow{p}$が成り立つとき，$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$であることを証明せよ．

次の空所を埋めよ．

(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．