「並び」について
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国立 宮崎大学 2014年 第5問白球$6$個と黒球$4$個がある．はじめに，白球$6$個を横$1$列に並べる．次に，
$1$から$6$の目がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{6}$の確率で出るサイコロを$1$つ投げて，出た目の数が$a$であれば，並んでいる球の左から$a$番目の球の左に黒球を$1$個入れる
という操作を$4$回繰り返す．例えば，
$1$回目に$1$の目，$2$回目に$5$の目，$3$回目に$5$の目，$4$回目に$2$の目
が出た場合の球の並びの変化は下の図のようになる．
（図は省略）
最終的な$10$個の球の並びにおいて，一番左にある白球よりも左にある黒球の個数を$k$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$k=0$である確率を求めよ．
(2)$k=1$である確率を求めよ．
(3)$k$の期待値を求めよ．
$1$から$6$の目がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{6}$の確率で出るサイコロを$1$つ投げて，出た目の数が$a$であれば，並んでいる球の左から$a$番目の球の左に黒球を$1$個入れる
という操作を$4$回繰り返す．例えば，
$1$回目に$1$の目，$2$回目に$5$の目，$3$回目に$5$の目，$4$回目に$2$の目
が出た場合の球の並びの変化は下の図のようになる．
（図は省略）
最終的な$10$個の球の並びにおいて，一番左にある白球よりも左にある黒球の個数を$k$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$k=0$である確率を求めよ．
(2)$k=1$である確率を求めよ．
(3)$k$の期待値を求めよ．
私立 中京大学 2014年 第2問$\mathrm{Y}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{A}$の$12$文字全部を横$1$列に並べて順列をつくるとき，次の各問に答えよ．
(1)順列の総数を求めよ．
(2)$\mathrm{GO}$という並びを含む順列の総数を求めよ．
(1)順列の総数を求めよ．
(2)$\mathrm{GO}$という並びを含む順列の総数を求めよ．
私立 上智大学 2014年 第3問$1$から$10$までの数字を$1$つずつ書いた$10$枚のカードを数字の小さい順に左から右に並べる．この中から$3$枚を無作為に選び，いずれのカードも元の位置と異なる位置に置くという操作を考える．この操作を$2$回以上続けて行う場合，$2$回目以降はカードの並びを一番最初の状態に戻すことはせず，$1$回前の操作で置き換えられた状態から$3$枚を無作為に選ぶ．また，選んだ$3$枚のカードについて元の位置と異なる位置への置き方が複数あるとき，いずれの置き方も等しい確率で選ばれるものとする．置き換えの操作を$n$回続けて行ったとき，一番左のカードが$10$である確率を$P_n$で表す．
(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)$n$回の操作の後で一番左のカードが$10$であり，$(n+1)$回目の操作の後も一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}P_n$となる．
(3)$n$回の操作の後で一番左のカードが$10$ではなく，$(n+1)$回目の操作の後で一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと$\displaystyle \frac{[ホ]P_n+[マ]}{[ミ]}$となる．
(4)$P_{n+1}$を$P_n$の式で表すと
\[ P_{n+1}=\frac{[ム]}{[メ]}P_n+\frac{[モ]}{[ヤ]} \]
となる．
(5)$\displaystyle P_n=\frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( \frac{[ラ]}{[リ]} \right)^n+\frac{[ル]}{[レ]}$である．
(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)$n$回の操作の後で一番左のカードが$10$であり，$(n+1)$回目の操作の後も一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}P_n$となる．
(3)$n$回の操作の後で一番左のカードが$10$ではなく，$(n+1)$回目の操作の後で一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと$\displaystyle \frac{[ホ]P_n+[マ]}{[ミ]}$となる．
(4)$P_{n+1}$を$P_n$の式で表すと
\[ P_{n+1}=\frac{[ム]}{[メ]}P_n+\frac{[モ]}{[ヤ]} \]
となる．
(5)$\displaystyle P_n=\frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( \frac{[ラ]}{[リ]} \right)^n+\frac{[ル]}{[レ]}$である．
私立 立教大学 2012年 第1問次の空欄ア～キに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$0 \leqq \theta < \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta-\sin^2 \theta$の最小値は[ア]であり，そのときの$\theta$の値は[イ]である．
(2)$\displaystyle \frac{a^x-a^{-x}}{2}=1$のとき，$x=\log_a y$と表せば，$y=[ウ]$である．ただし，$a>0$，$a \neq 1$とする．
(3)さいころを$3$回投げ，出た目を順に，百の位，十の位，一の位にして$3$桁の自然数をつくる．このとき，この自然数が$6$で割り切れ，さらに桁の並びを逆にしても$6$で割り切れる確率は[エ]である．
(4)最高次の係数が$1$の整式$P(x)$で，条件$P(2)=0,\ P(0)=1,\ P(1)=2$をみたすもののうち，最も次数の低いものは$P(x)=[オ]$である．
(5)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(6,\ 2)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の外心の座標は$([カ],\ [キ])$である．
(1)$0 \leqq \theta < \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta-\sin^2 \theta$の最小値は[ア]であり，そのときの$\theta$の値は[イ]である．
(2)$\displaystyle \frac{a^x-a^{-x}}{2}=1$のとき，$x=\log_a y$と表せば，$y=[ウ]$である．ただし，$a>0$，$a \neq 1$とする．
(3)さいころを$3$回投げ，出た目を順に，百の位，十の位，一の位にして$3$桁の自然数をつくる．このとき，この自然数が$6$で割り切れ，さらに桁の並びを逆にしても$6$で割り切れる確率は[エ]である．
(4)最高次の係数が$1$の整式$P(x)$で，条件$P(2)=0,\ P(0)=1,\ P(1)=2$をみたすもののうち，最も次数の低いものは$P(x)=[オ]$である．
(5)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(6,\ 2)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の外心の座標は$([カ],\ [キ])$である．
国立 茨城大学 2011年 第2問水戸黄門，助さん、格さん．弥七，お銀，八兵衛の6人が左から右へこの順番で1列に並んで座っている．6人が席を入れ換える．どの並びかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき以下となる確率を求めよ．
(1)助さんと格さんが両端に座る．
(2)水戸黄門とお銀が隣どうしに座る．
(3)最初と同じ席に座る人がちょうど 3 人．
(4)最初と同じ席に座る人がいない．
(1)助さんと格さんが両端に座る．
(2)水戸黄門とお銀が隣どうしに座る．
(3)最初と同じ席に座る人がちょうど 3 人．
(4)最初と同じ席に座る人がいない．