自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，$\{b_n\}$は初項$b$，公比$r$の等比数列である．数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_a$とする．また，数列$\{b_n\}$の一般項を$b_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_b$とする．次の各問に解答しなさい．

(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．

(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．

(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．

(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．

(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]

(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．

袋の中に$5$個の玉が入っている．それらは，$0$と書かれた玉が$2$個，$1$と書かれた玉，$-1$と書かれた玉，$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである．この袋の中から$3$個の玉を取り出す．取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする．次に，袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする．このように定義された$m$と$n$のもとで，$2$次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ．
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち，同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ．

袋の中に5個の玉が入っている．それらは，0と書かれた玉が2個，1と書かれた玉，$-1$と書かれた玉，2と書かれた玉がそれぞれ1個ずつである．この袋の中から3個の玉を取り出す．取り出した3個の玉に書かれた数字の和を$m$とする．次に，袋の中に残った2個の玉に書かれた数字の積を$n$とする．このように定義された$m$と$n$のもとで，2次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ．
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち，同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$を正の実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)不等式$\displaystyle \sqrt{ab} \leqq \frac{a+b}{2}$を示せ．
(2)不等式$\displaystyle \sqrt[4]{abcd} \leqq \frac{a+b+c+d}{4}$を示せ．
(3)不等式$\displaystyle \sqrt[4]{ab^3} \leqq \frac{a+3b}{4}$を示せ．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$(\sqrt{2}+1)^x+(\sqrt{2}-1)^x=6$について，(A)，(B)に答えよ．

\mon[(A)] $(\sqrt{2}+1)^x=\alpha,\ (\sqrt{2}-1)^x=\beta$とするとき，$\alpha\beta$の値を求めよ．
\mon[(B)] 方程式の解のうち最大のものを$m$とするとき，$m$の値を求めよ．

(2)$t>4$を満たすすべての$t$について，不等式
\[ (\log_2 t)^2-b \log_2 t+2>0 \]
が成り立つ$b$の範囲を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．

方程式$\tan x=x$について，次の各問に答えよ．ただし，必要であれば，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$を満たす$x$について，不等式$\sin x <x < \tan x$が成り立つことを用いてもよい．

(1)各自然数$n$について，$\displaystyle n\pi-\frac{\pi}{2}<x<n\pi+\frac{\pi}{2}$の範囲に方程式$\tan x=x$の解がただ1つ存在することを示せ．
(2)各自然数$n$について，(1)で存在が示された解を$x_n$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n \left( n\pi+\frac{\pi}{2}-x_n \right)$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$(\sqrt{2}+1)^x+(\sqrt{2}-1)^x=6$について，(A)，(B)に答えよ．

\mon[(A)] $(\sqrt{2}+1)^x=\alpha,\ (\sqrt{2}-1)^x=\beta$とするとき，$\alpha\beta$の値を求めよ．
\mon[(B)] 方程式の解のうち最大のものを$m$とするとき，$m$の値を求めよ．

(2)$t>0$を満たすすべての$t$について，不等式
\[ (\log_2t)^2-b \log_2t+2>0 \]
が成り立つ$b$の範囲を求めよ．