「不等式」について
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（1ページ目：全633問中1問～10問を表示）
国立 大阪大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$a$を正の実数とし，$k$を$1$以上の実数とする．$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-kax+a-k=0 \]
は，不等式
\[ -\frac{1}{a}<s \leqq 1 \]
をみたすような実数解$s$をもつことを示せ．
(2)$a$を$3$以上の整数とする．$n^2+a$が$an+1$で割り切れるような$2$以上のすべての整数$n$を$a$を用いて表せ．
(1)$a$を正の実数とし，$k$を$1$以上の実数とする．$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-kax+a-k=0 \]
は，不等式
\[ -\frac{1}{a}<s \leqq 1 \]
をみたすような実数解$s$をもつことを示せ．
(2)$a$を$3$以上の整数とする．$n^2+a$が$an+1$で割り切れるような$2$以上のすべての整数$n$を$a$を用いて表せ．
国立 山口大学 2016年 第2問$n$を自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$a>0$，$n \geqq 3$のとき，次の不等式が成り立つことを証明しなさい．
\[ {(1+a)}^n>\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3 \]
(2)$r>1$のとき，極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n} \]
を求めなさい．
(1)$a>0$，$n \geqq 3$のとき，次の不等式が成り立つことを証明しなさい．
\[ {(1+a)}^n>\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3 \]
(2)$r>1$のとき，極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n} \]
を求めなさい．
国立 東京大学 2016年 第1問$e$を自然対数の底，すなわち$\displaystyle e=\lim_{t \to \infty} \left( 1+\frac{1}{t} \right)^t$とする．すべての正の実数$x$に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x<e<\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x+\frac{1}{2}} \]
\[ \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x<e<\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x+\frac{1}{2}} \]
国立 東京大学 2016年 第5問$k$を正の整数とし，$10$進法で表された小数点以下$k$桁の実数
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{{10}^2}+\cdots +\frac{a_k}{{10}^k} \]
を$1$つとる．ここで，$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k$は$0$から$9$までの整数で，$a_k \neq 0$とする．
(1)次の不等式をみたす正の整数$n$をすべて求めよ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{n}-{10}^k<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(2)$p$が$5 \cdot {10}^{k-1}$以上の整数ならば，次の不等式をみたす正の整数$m$が存在することを示せ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{m}-p<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(3)実数$x$に対し，$r \leqq x<r+1$をみたす整数$r$を$[x]$で表す．$\sqrt{s}-[\sqrt{s}]=0.a_1 a_2 \cdots a_k$をみたす正の整数$s$は存在しないことを示せ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{{10}^2}+\cdots +\frac{a_k}{{10}^k} \]
を$1$つとる．ここで，$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k$は$0$から$9$までの整数で，$a_k \neq 0$とする．
(1)次の不等式をみたす正の整数$n$をすべて求めよ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{n}-{10}^k<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(2)$p$が$5 \cdot {10}^{k-1}$以上の整数ならば，次の不等式をみたす正の整数$m$が存在することを示せ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{m}-p<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(3)実数$x$に対し，$r \leqq x<r+1$をみたす整数$r$を$[x]$で表す．$\sqrt{s}-[\sqrt{s}]=0.a_1 a_2 \cdots a_k$をみたす正の整数$s$は存在しないことを示せ．
国立 東京大学 2016年 第6問座標空間内を，長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$が次の$2$条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$をみたしながら動く．
$(ⅰ)$ 点$\mathrm{A}$は平面$z=0$上にある．
$(ⅱ)$ 点$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$が線分$\mathrm{AB}$上にある．
このとき，線分$\mathrm{AB}$が通過することのできる範囲を$K$とする．$K$と不等式$z \geqq 1$の表す範囲との共通部分の体積を求めよ．
$(ⅰ)$ 点$\mathrm{A}$は平面$z=0$上にある．
$(ⅱ)$ 点$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$が線分$\mathrm{AB}$上にある．
このとき，線分$\mathrm{AB}$が通過することのできる範囲を$K$とする．$K$と不等式$z \geqq 1$の表す範囲との共通部分の体積を求めよ．
国立 岡山大学 2016年 第4問関数$f(x)=8x^3-6x-1$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\cos \frac{5\pi}{9}$とするとき，$f(a)$の値を求めよ．
(3)不等式
\[ -\frac{1}{5}<\cos \frac{5 \pi}{9}<-\frac{1}{6} \]
を証明せよ．
(1)$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\cos \frac{5\pi}{9}$とするとき，$f(a)$の値を求めよ．
(3)不等式
\[ -\frac{1}{5}<\cos \frac{5 \pi}{9}<-\frac{1}{6} \]
を証明せよ．
国立 岡山大学 2016年 第2問関数$f(x)=8x^3-6x-1$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\cos \frac{5\pi}{9}$とするとき，$f(a)$の値を求めよ．
(3)不等式
\[ -\frac{1}{5}<\cos \frac{5 \pi}{9}<-\frac{1}{6} \]
を証明せよ．
(1)$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\cos \frac{5\pi}{9}$とするとき，$f(a)$の値を求めよ．
(3)不等式
\[ -\frac{1}{5}<\cos \frac{5 \pi}{9}<-\frac{1}{6} \]
を証明せよ．
国立 鳴門教育大学 2016年 第1問$a$を実数とするとき，不等式$|n-a|+|n-6| \leqq 6$をみたす整数$n$の個数を求めなさい．
国立 東北大学 2016年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)$6$以上の整数$n$に対して不等式
\[ 2^n>n^2+7 \]
が成り立つことを数学的帰納法により示せ．
(2)等式
\[ p^q=q^p+7 \]
を満たす素数の組$(p,\ q)$をすべて求めよ．
(1)$6$以上の整数$n$に対して不等式
\[ 2^n>n^2+7 \]
が成り立つことを数学的帰納法により示せ．
(2)等式
\[ p^q=q^p+7 \]
を満たす素数の組$(p,\ q)$をすべて求めよ．
国立 富山大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．
(2)$3$以上の整数$n$に対して，不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ．
(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．
(2)$3$以上の整数$n$に対して，不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ．