図$1$が示すように，平面上に互いに異なる$5$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がある．ただし，$\mathrm{O}$は原点であり，他の$4$点の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．媒介変数$t (0 \leqq t \leqq 1)$を用いて，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$とする．同様に，線分$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$とする．さらに，線分$\mathrm{HI}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{J}$とし，$t$が$0$から$1$まで変化するときの点$\mathrm{J}$の軌跡を曲線$K$とする（図$1$参照）．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$を表せ．
(3)特殊な条件として，一辺が$r$の正方形上に図$2$に示すように点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を配置する．さらに，中心が$\mathrm{O}$で端点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$とする円弧を$L$とする．線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CD}$の長さはともに半径$r$の$s$倍（$0 \leqq s \leqq 1$）である．このとき，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{d}$および$s$を用いてベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を表せ．
(4)$(3)$において，$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの点$\mathrm{J}$に対応する点を特に点$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{M}$が円弧$L$上にあるための条件を$s$の値で示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)座標平面において，次の連立不等式の表す領域を図示せよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y \leqq 1 \\
x-y \leqq 1
\end{array} \right. \]
(2)$2$つの放物線$y=x^2-2x+k$と$y=-x^2+1$が共有点をもつような実数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$x,\ y$が$(1)$の連立不等式を満たすとき，$y-x^2+2x$の最大値および最小値と，それらを与える$x,\ y$の値を求めよ．

半径$1$の円を内接円とする三角形$\mathrm{ABC}$が，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$の長さが等しい二等辺三角形であるとする．辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$と内接円の接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．また，$\alpha=\angle \mathrm{CAB}$，$\beta=\angle \mathrm{ABC}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする．

(1)線分$\mathrm{AQ}$の長さを$\alpha$を用いて表し，線分$\mathrm{QC}$の長さを$\beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle t=\tan \frac{\beta}{2}$とおく．このとき，$S$を$t$を用いて表せ．
(3)不等式$S \geqq 3 \sqrt{3}$が成り立つことを示せ．さらに，等号が成立するのは，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形のときに限ることを示せ．

$p$と$q$は正の整数とする．$2$次方程式$x^2-2px-q=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする．ただし$\alpha>\beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{1}{2}(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．ただし$\alpha^0=1$，$\beta^0=1$と定める．

(1)すべての自然数$n$に対して，$a_{n+2}=2pa_{n+1}+qa_n$であることを示せ．
(2)すべての自然数$n$に対して，$a_n$は整数であることを示せ．
(3)自然数$n$に対し，$\displaystyle \frac{\alpha^{n-1}}{2}$以下の最大の整数を$b_n$とする．$p$と$q$が$q<2p+1$を満たすとき，$b_n$を$a_n$を用いて表せ．

$f(x)=\log (e^x+e^{-x})$とおく．曲線$y=f(x)$の点$(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と$y$軸の交点の$y$座標を$b(t)$とおく．

(1)次の等式を示せ．
\[ b(t)=\frac{2te^{-t}}{e^t+e^{-t}}+\log (1+e^{-2t}) \]
(2)$x \geqq 0$のとき，$\log (1+x) \leqq x$であることを示せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，
\[ b(t) \leqq \frac{2}{e^t+e^{-t}}+e^{-2t} \]
であることを示せ．
(4)$\displaystyle b(0)=\lim_{x \to \infty} \int_0^x \frac{4t}{(e^t+e^{-t})^2} \, dt$であることを示せ．

$f(x),\ g(x),\ h(x)$を

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(\cos x-\sin x)$

$\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$

$h(x)=\sin x$

とおく．$3$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$，$y=h(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす部分を，それぞれ$C_1$，$C_2$，$C_3$とする．

(1)$C_2$と$C_3$の交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_3$の交点の$x$座標を$\alpha$とする．$\sin \alpha$，$\cos \alpha$の値を求めよ．
(3)$C_1$，$C_2$，$C_3$によって囲まれる図形の面積を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)次の関数の最大値および最小値を求めなさい．
\[ f(x)=|x|+|x-1|+|x-2| \quad (-1 \leqq x \leqq 3) \]
(2)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=10$のとき，$\log_{10}x+\log_{10}y$の最大値を求めなさい．
(3)$f(\theta)=5 \sin \theta-12 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$の最大値および最小値を求めなさい．

$3$点$\mathrm{A}(1,\ 4)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-2,\ 7)$を通る$2$次関数$y=f(x)$上に点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$がある．ただし，$-2<p \leqq -1$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ACP}$の面積を$p$の式で表しなさい．
(3)三角形$\mathrm{ACP}$の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

第$n$項が
\[ a_n=\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表される数列$\{a_n\}$がある．この数列の第$1$項から第$n$項までの和を$S_n$で表すとき，次の問いに答えなさい．

(1)$n \geqq 2$のとき，$S_n$を$n$の式で表しなさい．また，$S_{10}$の値を求めなさい．
(2)$\displaystyle S=2 \sum_{k=8}^{70} a_k$の値を求めなさい．

$t$は実数で$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$を満たすとする．平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$，$\mathrm{Q}(1,\ \sin t)$をとる．このとき以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$，点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．このとき$\ell,\ m$の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲全体を動くときに点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．このとき，点$(x,\ y) (x>0,\ y>0)$が$C$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ．
(3)曲線$C$の点$\mathrm{R}$における接線を$n$とする．ある$t$に対して直線$\ell,\ m$がなす鋭角と直線$m,\ n$がなす鋭角が等しくなる．この状況のもとで，以下の問いに答えよ．

(i) 点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$の座標を求めよ．
(ii) 直線$\ell$と$n$のなす鋭角を$\theta$とおく．また，点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円と直線$n$との$2$交点のうち，$y$座標が正の点を$\mathrm{S}(\cos \phi,\ \sin \phi)$とおく．このとき，$\theta=\phi$を示せ．