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国立 電気通信大学 2015年 第1問関数
\[ f(x)=x+\sin 2x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
に対して，曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)曲線$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{4},\ f \left( \frac{\pi}{4} \right) \right)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)関数$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$C$，$y$軸および接線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)不定積分$\displaystyle \int x \sin 2x \, dx$を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(5)曲線$C$，$x$軸および直線$x=\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
\[ f(x)=x+\sin 2x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
に対して，曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)曲線$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{4},\ f \left( \frac{\pi}{4} \right) \right)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)関数$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$C$，$y$軸および接線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)不定積分$\displaystyle \int x \sin 2x \, dx$を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(5)曲線$C$，$x$軸および直線$x=\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 電気通信大学 2015年 第2問関数$f(t),\ g(t)$を次のように定義する．ただし，$e$は自然対数の底とする．
\[ f(t)=(t-1)e^{-t},\quad g(t)=(t-1)^2e^{-t} \]
$xy$平面上の曲線$C$が，媒介変数$t$を用いて
\[ x=f(t),\quad y=g(t) \quad (1 \leqq t \leqq 3) \]
と表されるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(t)=g(t)$となる$t$の値を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．さらに，$\alpha \leqq t \leqq \beta$のとき，$f(t) \geqq g(t)$であることを示せ．
(2)導関数$f^\prime(t),\ g^\prime(t)$をそれぞれ求めよ．さらに，区間$\alpha \leqq t \leqq \beta$において，関数$f(t)$，$g(t)$がともに単調に増加することを示せ．
(3)次の定積分をそれぞれ求めよ．
\[ I_1=\int_0^1 ue^{-2u} \, du,\quad I_2=\int_0^1 u^2 e^{-2u} \, du,\quad I_3=\int_0^1 u^3e^{-2u} \, du \]
(4)曲線$C$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
\[ f(t)=(t-1)e^{-t},\quad g(t)=(t-1)^2e^{-t} \]
$xy$平面上の曲線$C$が，媒介変数$t$を用いて
\[ x=f(t),\quad y=g(t) \quad (1 \leqq t \leqq 3) \]
と表されるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(t)=g(t)$となる$t$の値を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．さらに，$\alpha \leqq t \leqq \beta$のとき，$f(t) \geqq g(t)$であることを示せ．
(2)導関数$f^\prime(t),\ g^\prime(t)$をそれぞれ求めよ．さらに，区間$\alpha \leqq t \leqq \beta$において，関数$f(t)$，$g(t)$がともに単調に増加することを示せ．
(3)次の定積分をそれぞれ求めよ．
\[ I_1=\int_0^1 ue^{-2u} \, du,\quad I_2=\int_0^1 u^2 e^{-2u} \, du,\quad I_3=\int_0^1 u^3e^{-2u} \, du \]
(4)曲線$C$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 宮崎大学 2015年 第3問座標平面上に点$\mathrm{P}$があり，次のルールにより，点$\mathrm{P}$は移動する．
$a,\ b,\ c$の文字がそれぞれ$1$つずつ書かれた球$3$個が入った袋から，$1$個取り出してそこに書かれている文字を読み，その文字が
$a$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向へ$1$だけ移動し，
$b$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の負の方向へ$1$だけ移動し，
$c$のとき，点$\mathrm{P}$は$y$軸の正の方向へ$1$だけ移動する．
最初，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．この試行を，取り出した球を元に戻しながら，$5$回続けて行う．例えば，これによって得られた$5$個の文字が順に$b \to a \to c \to c \to a$であるとすれば，上のルールにより，点$\mathrm{P}$の位置の座標は，
\[ (0,\ 0) \to (-1,\ 0) \to (0,\ 0) \to (0,\ 1) \to (0,\ 2) \to (1,\ 2) \]
と変化する．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$y$軸上で点$\mathrm{P}$の移動が終了する場合，終了したときの位置の座標をすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の相異なる座標の個数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の座標$(x,\ y)$が$|x| \leqq 1$，$1 \leqq y \leqq 2$となる確率を求めよ．
$a,\ b,\ c$の文字がそれぞれ$1$つずつ書かれた球$3$個が入った袋から，$1$個取り出してそこに書かれている文字を読み，その文字が
$a$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向へ$1$だけ移動し，
$b$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の負の方向へ$1$だけ移動し，
$c$のとき，点$\mathrm{P}$は$y$軸の正の方向へ$1$だけ移動する．
最初，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．この試行を，取り出した球を元に戻しながら，$5$回続けて行う．例えば，これによって得られた$5$個の文字が順に$b \to a \to c \to c \to a$であるとすれば，上のルールにより，点$\mathrm{P}$の位置の座標は，
\[ (0,\ 0) \to (-1,\ 0) \to (0,\ 0) \to (0,\ 1) \to (0,\ 2) \to (1,\ 2) \]
と変化する．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$y$軸上で点$\mathrm{P}$の移動が終了する場合，終了したときの位置の座標をすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の相異なる座標の個数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の座標$(x,\ y)$が$|x| \leqq 1$，$1 \leqq y \leqq 2$となる確率を求めよ．
国立 宮崎大学 2015年 第4問$a \geqq 0$，$b \geqq 0$とする．このとき，変数$x$の関数
\[ f(x)=\cos 2x \cos x+2a \sin 2x-2 \cos 2x-8a \sin x-(b+1) \cos x+2(b+1) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$X=\sin x,\ Y=\cos x$とおくとき，
\[ f(x)=(Y-[ア])(-[イ]X^2+[ウ]X-b) \]
と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a,\ b$を用いた文字式を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a,\ b$を座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
\[ f(x)=\cos 2x \cos x+2a \sin 2x-2 \cos 2x-8a \sin x-(b+1) \cos x+2(b+1) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$X=\sin x,\ Y=\cos x$とおくとき，
\[ f(x)=(Y-[ア])(-[イ]X^2+[ウ]X-b) \]
と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a,\ b$を用いた文字式を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a,\ b$を座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
国立 宮崎大学 2015年 第2問座標平面上に点$\mathrm{P}$があり，次のルールにより，点$\mathrm{P}$は移動する．
$a,\ b,\ c$の文字がそれぞれ$1$つずつ書かれた球$3$個が入った袋から，$1$個取り出してそこに書かれている文字を読み，その文字が
$a$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向へ$1$だけ移動し，
$b$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の負の方向へ$1$だけ移動し，
$c$のとき，点$\mathrm{P}$は$y$軸の正の方向へ$1$だけ移動する．
最初，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．この試行を，取り出した球を元に戻しながら，$5$回続けて行う．例えば，これによって得られた$5$個の文字が順に$b \to a \to c \to c \to a$であるとすれば，上のルールにより，点$\mathrm{P}$の位置の座標は，
\[ (0,\ 0) \to (-1,\ 0) \to (0,\ 0) \to (0,\ 1) \to (0,\ 2) \to (1,\ 2) \]
と変化する．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$y$軸上で点$\mathrm{P}$の移動が終了する場合，終了したときの位置の座標をすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の相異なる座標の個数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の座標$(x,\ y)$が$|x| \leqq 1$，$1 \leqq y \leqq 2$となる確率を求めよ．
$a,\ b,\ c$の文字がそれぞれ$1$つずつ書かれた球$3$個が入った袋から，$1$個取り出してそこに書かれている文字を読み，その文字が
$a$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向へ$1$だけ移動し，
$b$のとき，点$\mathrm{P}$は$x$軸の負の方向へ$1$だけ移動し，
$c$のとき，点$\mathrm{P}$は$y$軸の正の方向へ$1$だけ移動する．
最初，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$にあるものとする．この試行を，取り出した球を元に戻しながら，$5$回続けて行う．例えば，これによって得られた$5$個の文字が順に$b \to a \to c \to c \to a$であるとすれば，上のルールにより，点$\mathrm{P}$の位置の座標は，
\[ (0,\ 0) \to (-1,\ 0) \to (0,\ 0) \to (0,\ 1) \to (0,\ 2) \to (1,\ 2) \]
と変化する．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$y$軸上で点$\mathrm{P}$の移動が終了する場合，終了したときの位置の座標をすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の相異なる座標の個数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の移動が終了する位置の座標$(x,\ y)$が$|x| \leqq 1$，$1 \leqq y \leqq 2$となる確率を求めよ．
国立 宮崎大学 2015年 第2問$a \geqq 0$，$b \geqq 0$とする．このとき，変数$x$の関数
\[ f(x)=\cos 2x \cos x+2a \sin 2x-2 \cos 2x-8a \sin x-(b+1) \cos x+2(b+1) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$X=\sin x,\ Y=\cos x$とおくとき，
\[ f(x)=(Y-[ア])(-[イ]X^2+[ウ]X-b) \]
と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a,\ b$を用いた文字式を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a,\ b$を座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
\[ f(x)=\cos 2x \cos x+2a \sin 2x-2 \cos 2x-8a \sin x-(b+1) \cos x+2(b+1) \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$X=\sin x,\ Y=\cos x$とおくとき，
\[ f(x)=(Y-[ア])(-[イ]X^2+[ウ]X-b) \]
と表せる．ア，イ，ウに入る数，または$a,\ b$を用いた文字式を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲内に少なくとも$1$つの解をもつようなすべての$a,\ b$を座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
国立 宮崎大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$は
\[ \sqrt[3]{3}{a_{n+2}}^3={a_n}^4,\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしている．$a_1=1$，$a_2=2$のとき，$a_{2k-1}$（$k$は自然数）を，$k$を用いて表せ．
\[ \sqrt[3]{3}{a_{n+2}}^3={a_n}^4,\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしている．$a_1=1$，$a_2=2$のとき，$a_{2k-1}$（$k$は自然数）を，$k$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2015年 第5問$n$を$2$以上の自然数とする．$1$つの袋に$1$から$n$までの数を$1$つずつ書いた$n$個の球と，数$0$を書いた$2$個の球が入っている．これら$(n+2)$個の球が入っている袋から，元に戻すことなく，$1$個ずつ$3$回球を取り出し，その$3$個に書かれている数を取り出した順に$a,\ b,\ c$とする．事象$a+b \leqq c$の起こる確率を$P(n)$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$P(3)$を求めよ．
(2)$n$を偶数とするとき，$P(n)$を，$n$を用いて表せ．
(1)$P(3)$を求めよ．
(2)$n$を偶数とするとき，$P(n)$を，$n$を用いて表せ．
国立 お茶の水女子大学 2015年 第1問座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心，半径$1$の円を$S$とする．点$\mathrm{P}$が円$S$上を動くとき，$\mathrm{P}$における$S$の接線に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2},\ 0 \right)$から下ろした垂線の交点$\mathrm{Q}$のなす軌跡を$C$とする．$x$軸の正の方向に対して$\mathrm{OP}$のなす角を$t$として，$\mathrm{P}$の座標を$(\cos t,\ \sin t)$で表す．このときの$\mathrm{Q}$の座標を$(f(t),\ g(t))$とする．
(1)$f(t),\ g(t)$を求めよ．
(2)$g(t)$の最大値を求めよ．
(3)$C$で囲まれた図形の$y \geqq 0$の部分の面積を求めよ．
(1)$f(t),\ g(t)$を求めよ．
(2)$g(t)$の最大値を求めよ．
(3)$C$で囲まれた図形の$y \geqq 0$の部分の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2015年 第4問$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{6}$を満たす$\theta$について，$r(\theta)=\sqrt{2 \cos 2\theta}$とするとき，座標平面上で円$x^2+y^2=\{r(\theta)\}^2$と直線$y=(\tan \theta)x$は$2$つの交点をもつ．そのうち，$x$座標が正であるものを$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$f(\theta)$，$y$座標を$g(\theta)$とする．$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{6}$の範囲で動かしたときの点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$f(\theta),\ g(\theta)$を求めよ．
(2)$g(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸，直線$\displaystyle x=f \left( \frac{\pi}{6} \right)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f(\theta),\ g(\theta)$を求めよ．
(2)$g(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸，直線$\displaystyle x=f \left( \frac{\pi}{6} \right)$で囲まれた部分の面積を求めよ．