原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に放物線$y=x^2$がある．この放物線上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$があり，$a>0$，$b<0$であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直であるとき，次の問に答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$と$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$a$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3 \sqrt{10}$のとき，点$\mathrm{B}$の座標と$a$を求めよ．

座標平面上の放物線$\displaystyle y=x^2-\frac{1}{2}ax+2$を$C$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{P}$があり，点$\mathrm{P}$の$x$座標が$a$であるとき，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り，直線$\ell_1$に垂直な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．
(3)放物線$C$と直線$\ell_2$の交点で，点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)放物線$C$と直線$\ell_2$で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．
(5)面積$S(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$について，次の問に答えよ．ただし，$a_1$，$a_2$，$a_3$は負の実数とする．

(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ．
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$，負の実数解を$\beta$とおくとき，$-\alpha<\beta$を示せ．
(2)$f(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ．
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく．$x \leqq -p$のとき，$f(x)<0$を示せ．

$t$を$0<t<1$をみたす実数とする．$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$に対し，線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，線分$\mathrm{PQ}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が曲線$y=x^2$の点$\mathrm{R}$における接線であることを示せ．
(3)$t$が条件$0<t<1$をみたしながら変化するとき，直線$\ell$が通過する領域を図示せよ．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を

$\displaystyle a_n=(-1)^n \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

と定めるとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(1)$a_1=\log 2-1$を示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{{(-1)}^{n+1}}{n+1}$を示せ．
(3)$\displaystyle a_n=\log 2-\sum_{k=1}^n \frac{{(-1)}^{k+1}}{k} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(4)$x \geqq 0$のとき$\displaystyle \frac{1}{1+x} \leqq 1$であることを用いて，$\displaystyle |a_n| \leqq \frac{1}{n+1}$を示せ．
(5)$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{{(-1)}^{k+1}}{k}$を求めよ．

$xy$平面上に曲線$C:y=\log x$がある．曲線$C$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}(b,\ \log b)$における法線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さを$d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d=\sqrt{a^2+1} \left( b+\frac{\log a-\log b}{a-b} \right)$を示せ．
(4)$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$に限りなく近づくときの$d$の極限値を$\displaystyle r=\lim_{b \to a}d$とする．

(i) $\displaystyle r=\frac{(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{a}$を示せ．
(ii) $a$が$a>0$の範囲を動くとき，$r$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを$3$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを$4$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$\displaystyle \frac{2 \pi}{3}$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の大きさを求めよ．
(2)$\alpha$が$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$の範囲にあり，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{4}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角が$4 \alpha$であるとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{E}(1,\ 0)$に対し，
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}-12 \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．

$f(x)=xe^x$とするとき，次の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底とし，$2<e<3$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることは用いてよい．

(1)関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=-1$，$x=1$および$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$t$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=f(t)a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$\displaystyle t \leqq \frac{1}{2}$ならば，$\{a_n\}$は収束することを示せ．

$xy$平面において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$と点$(2,\ 0)$の距離が，点$\mathrm{P}$と直線$x=1$の距離の$\sqrt{2}$倍と等しくなるような点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．

$f(x)=xe^x$とするとき，次の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底とし，$2<e<3$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることは用いてよい．

(1)関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=-1$，$x=1$および$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$t$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=f(t)a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$\displaystyle t \leqq \frac{1}{2}$ならば，$\{a_n\}$は収束することを示せ．