四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{R}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．ただし，$0<s<1$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$s$で表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$が交わるときの$s$の値を求めよ．

連立不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$3x+y \leqq 8$，$x+3y \leqq 9$が表す領域を$A$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$3x+y=8$と直線$x+3y=9$の交点の座標を求めよ．また，領域$A$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$A$において，$\displaystyle \frac{3}{4}x+y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{8}{3}x^2$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$B$とする．領域$B$の面積を求めよ．
(4)不等式$y \leqq ax$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$C$とする．領域$C$の面積が領域$B$の面積と等しくなる実数$a$の値を求めよ．

方程式$x-(y-k)^2=0$で表される曲線$C$上に動点$\mathrm{P}((t-k)^2,\ t)$があって，点$\mathrm{P}$と点$(k^2,\ 0)$との距離の$2$乗を$f(t)$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$k>0$とする．

(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$f(t)$の導関数を$f^\prime(t)$とするとき，方程式$f^\prime(t)=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
(3)$k=2$のとき，$f(t)$の極大値を求めよ．

$1$個のさいころを$4$回続けて投げ，出た目を$1$回目から順に$a,\ b,\ c,\ d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，さいころは$1$回投げると$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$の目がそれぞれ等しい確率で出るものとする．

(1)$a<b<c<d$となる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，異なるものが$3$種類以下となる確率を求めよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，異なるものが$2$種類となる確率を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{R}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．ただし，$0<s<1$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$s$で表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$が交わるときの$s$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\sin 3\theta$を$\sin \theta$で表せ．
(2)$\cos 3\theta$を$\cos \theta$で表せ．
(3)関数$y=-8 \sin^3 \theta+6 \sin \theta-3 \cos \theta+4 \cos^3 \theta+1$の$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．

関数$f(x)=\cos^3 x \sin x$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲における$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲において，曲線$y=f(x)$と曲線$y=\sin 2x$で囲まれた部分の面積を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)実数$x,\ y$が$x+y=1$を満たすとき，不等式
\[ x^2+y^2 \geqq \frac{1}{2} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2)実数$x,\ y,\ z$が$x+y+z=1$を満たすとき，不等式
\[ x^2+y^2+z^2 \geqq \frac{1}{3} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(3)$n$は自然数とする．実数$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$が$x_1+x_2+\cdots +x_n=1$を満たすとき，不等式
\[ {x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_n}^2 \geqq \frac{1}{n} \]
が成り立つことを証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．

$xy$平面において，ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ \sqrt{3})$，$\overrightarrow{b}=(x,\ y)$に対して，
\[ |\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}| \geqq 1 \quad \text{かつ} \quad |\overrightarrow{b}| \leqq 1 \]
を満たす点$(x,\ y)$の領域を$D$とする．ただし，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積，$|\overrightarrow{b}|$はベクトル$\overrightarrow{b}$の長さを表す．以下の問に答えよ．

(1)$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．

$\displaystyle y=\cos \frac{\pi x}{2} (0 \leqq x \leqq 1)$で与えられる曲線を$C$とする．曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形$S$について，以下の問いに答えよ．

(1)図形$S$の面積を求めよ．
(2)図形$S$を$x$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．
(3)部分積分法を用いて次の不定積分を求めよ．
\[ \int x^2 \sin x \, dx \]
(4)図形$S$を$y$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ．その際，曲線$C$は変数$t$を媒介変数として
\[ x=\frac{2}{\pi}t,\quad y=\cos t \quad \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と表せることを利用せよ．