数直線上にある$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$つの点と$1$つの石を考える．石がいずれかの点にあるとき，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\text{石が点$1$にあるならば，確率$1$で点$2$に移動する} \\
\text{石が点$k (k=2,\ 3,\ 4)$にあるならば，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で点$k-1$に，} \\
\text{確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で点$k+1$に移動する} \\
\text{石が点$5$にあるならば，確率$1$で点$4$に移動する}
\end{array} \right. \]
という試行を行う．石が点$1$にある状態から始め，この試行を繰り返す．また，石が移動した先の点に印をつけていく（点$1$には初めから印がついているものとする）．このとき，次の問に答えよ．

(1)試行を$6$回繰り返した後に，石が点$k (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$にある確率をそれぞれ求めよ．
(2)試行を$6$回繰り返した後に，$5$つの点全てに印がついている確率を求めよ．
(3)試行を$n$回（$n \geqq 1$）繰り返した後に，ちょうど$3$つの点に印がついている確率を求めよ．

$1$から$9$までの番号が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードから無作為に$1$枚を取り出し，その番号を確認してもとにもどす．この試行を$4$回行う．カードに書かれた番号を取り出した順に$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$がすべて異なる確率を求めよ．
(2)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$が異なる$2$種類の番号をそれぞれ$2$個ずつ含む確率を求めよ．
(3)$a_1<a_2<a_3<a_4$となる確率を求めよ．
(4)$a_1 \leqq a_2 \leqq a_3 \leqq a_4$となる確率を求めよ．

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)関数$f(x)=x^2 \sqrt{1+\log x}$の$x=e^3$における微分係数$f^\prime(e^3)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$y=\sin x$と$\displaystyle y=\sin \frac{x}{2}$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{1}{x^3-8} \int_2^x t^2 \, 2^{t^2} \, dt$を求めよ．

$xy$平面において，関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x}}$が表す曲線を$C$とし，$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{\sqrt{t}} \right)$を考える．ただし，$t>0$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)曲線$C$，$x$軸，直線$x=t$，および点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に垂直な直線で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L(t)$とする．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$L(t)$の最小値を求めよ．

$e$を自然対数の底とする．$xy$平面上で，曲線$y=e^{2x}$の，点$(t,\ e^{2t})$における接線を$\ell_t$とし，点$(s,\ e^{2s})$における接線を$\ell_s$とする．$\ell_s$の傾きが$\ell_t$の傾きの$e$倍に等しいとする．

(1)$\ell_t$と$\ell_s$の交点の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\ell_s$を，$y$軸に関して対称移動して得られる直線を$L$とする．$L$と直線$x=t$との交点を$\mathrm{P}_t$とする．$\mathrm{P}_t$の$y$座標を$t$を用いて表せ．
(3)$a$を正の実数とする．$t$が$0 \leqq t \leqq a$の範囲を動くとき，$(2)$で定めた点$\mathrm{P}_t$が描く曲線を$C$とする．$C$と$x$軸および直線$x=a$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0<x<2\pi$の範囲において，方程式$\sin 5x=\sin x$の解をすべて求めよ．
(2)$(1)$で求めた解のうちで最小のものを$a$とする．曲線$y=\sin 5x-\sin x (0 \leqq x \leqq a)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

曲線$C_1:y=\log x (x>0)$と曲線$C_2:y=-x^2+a$を考える．ただし，$\log$は自然対数を表す．以下の各問に答えよ．

(1)曲線$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における法線$\ell$の方程式を求めよ．ただし，曲線上の点$\mathrm{P}$における法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における接線に垂直に交わる直線のことである．
(2)$(1)$で求めた法線$\ell$と曲線$C_2$が接するとき，$a$の値を$t$を用いて表せ．また，$C_2$と$\ell$が接する点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線，点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線，$x$軸，および曲線$C_1$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S(t)$の極値を求めよ．

放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$を$C$とし，直線$y=2x-1$を$\ell$とする．

(1)放物線$C$が点$(1,\ 1)$で直線$\ell$と接し，かつ$x$軸と共有点をもつための$a,\ b,\ c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{8}{9}$のとき，$(1)$の条件のもとで，放物線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分のうち，第$1$象限にある部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$に対して
\[ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 \leqq n \sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
が成立することを示せ．また，等号が成立するための$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$についての必要十分条件を求めよ．
(2)偏りをもつサイコロを$2$回投げるとき，同じ目が続けて出る確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$よりも大きいことを示せ．ただし，サイコロが偏りをもつとは，$1$から$6$の目が同様に確からしく出ないことをいう．

数列$\{a_n\}$は初項$a$，公比$r$の等比数列であり，その一般項を$a_n$で表す．また，数列$\{b_n\}$は一般項が$b_n=\log_2 a_n$で定義され，その初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．ただし，$n$は自然数である．次の各問に答えなさい．

(1)$a_2=16$，$b_3=2$とする．

(i) $r,\ a$の値を求めなさい．
(ii) $b_5,\ S_5$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n \geqq 10$を満たす$n$の値をすべて求めなさい．

(2)$\displaystyle a=2^{32},\ \frac{a}{r}=2^{35}$とする．

(i) $r,\ a_{10}$の値を求めなさい．
(ii) $S_n$が最大になるとき，$n$および$S_n$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n<0$を満たす$n$の最小値を求めなさい．

(3)$\displaystyle x>-2,\ \beta=\frac{3\pi}{7},\ \theta=\frac{\pi}{14}$とする．

(i) 次の$3$つの条件を同時に満たす$x$の値を求めなさい．
\[ a=x+2,\quad r=x+3,\quad b_2=1+\log_2 (x+8) \]
(ii) $\log_2 a=\cos^2 \beta+\sin \beta \cos \theta$，$\log_2 r=\sin^2 \beta+\cos \beta \sin \theta$のとき，$b_2$の値を求めなさい．
(iii) $\log_2 a=\sin^2 \theta+\cos \beta \cos \theta$，$\displaystyle \log_2 r^2=\frac{1}{2} \cos 2\theta-\sin \beta \sin \theta$のとき，$b_3$の値を求めなさい．