点$\mathrm{P}(3,\ 2)$から楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$に$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$を引き，それぞれの接点の座標を$(a,\ b)$，$(c,\ d)$とする．ただし，$a<c$とする．次の問いに答えよ．

(1)接点の座標$(a,\ b)$，$(c,\ d)$を求めよ．
(2)$C$の$x \geqq 0$の部分を曲線$C_0$とするとき，$C_0$と$\ell_1$および$\ell_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)=x^2-2px+q$は最小値$-4$をとるものとする．以下の問に答えよ．

(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$f(x)=0$となる$x$を$p$を用いて表せ．
(3)$p>0$のとき，関数$g(x)=|f(x)| (-1 \leqq x \leqq 1)$の最小値を与える$x$を求めよ．

$m>1$とし，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2 \\
(y-2mx)(y+2mx-3m^2) \leqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．以下の問に答えよ．

(1)$y=x^2$と$y=-2mx+3m^2$の共有点を求めよ．
(2)領域$D$を図示せよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2y-x$の最大値と最小値を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2y-6mx$の最大値と最小値を求めよ．

$p$を$2$以上の整数とし，$a=p+\sqrt{p^2-1}$，$b=p-\sqrt{p^2-1}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$a^2+b^2$と$a^3+b^3$がともに偶数であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$a^n+b^n$が偶数であることを示せ．
(3)正の整数$n$について，$[a^n]$が奇数であることを示せ．ただし，実数$x$に対して，$[x]$は$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$を表す．

関数$f(x)=x^2-2px+q$は最小値$-4$をとるものとする．以下の問に答えよ．

(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$f(x)=0$となる$x$を$p$を用いて表せ．
(3)$p>0$のとき，関数$g(x)=|f(x)| (-1 \leqq x \leqq 1)$の最小値を与える$x$を求めよ．

$m>1$とし，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2 \\
(y-2mx)(y+2mx-3m^2) \leqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．以下の問に答えよ．

(1)$y=x^2$と$y=-2mx+3m^2$の共有点を求めよ．
(2)領域$D$を図示せよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2y-x$の最大値と最小値を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2y-6mx$の最大値と最小値を求めよ．

関数$f(x)=e^{-x}$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とする．$t>0$として，曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)原点を$\mathrm{O}$とするとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．$t$が変化するとき，$S$の最大値を求めよ．また，そのときの$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$(2)$で求めた$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

座標平面上の円$C:x^2+(y-1)^2=1$と，$x$軸上の$2$点$\mathrm{P}(-a,\ 0)$，$\mathrm{Q}(b,\ 0)$を考える．ただし，$a>0$，$b>0$，$ab \neq 1$とする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$のそれぞれから$C$に$x$軸とは異なる接線を引き，その$2$つの接線の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\mathrm{QR}$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{R}$の座標を$a,\ b$で表せ．
(3)$\mathrm{R}$の$y$座標が正であるとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の周の長さを$T$とする．$T$を$a,\ b$で表せ．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が，条件「$\mathrm{PQ}=4$であり，$\mathrm{R}$の$y$座標は正である」を満たしながら動くとき，$T$を最小とする$a$の値とそのときの$T$の値を求めよ．

数直線上にある$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$つの点と$1$つの石を考える．石がいずれかの点にあるとき，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\text{石が点$1$にあるならば，確率$1$で点$2$に移動する} \\
\text{石が点$k (k=2,\ 3,\ 4)$にあるならば，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で点$k-1$に，} \\
\text{確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で点$k+1$に移動する} \\
\text{石が点$5$にあるならば，確率$1$で点$4$に移動する}
\end{array} \right. \]
という試行を行う．石が点$1$にある状態から始め，この試行を繰り返す．試行を$n$回繰り返した後に，石が点$k (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$にある確率を$P_n(k)$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$n=6$のときの確率$P_6(k) (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$をそれぞれ求めよ．
(2)石が移動した先の点に印をつける（点$1$には初めから印がついているものとする）．試行を$6$回繰り返した後に，$5$つの点全てに印がついている確率を求めよ．
(3)$n \geqq 1$のとき，$P_n(3)$を求めよ．

$e$を自然対数の底とし，$t$を$t>e$となる実数とする．このとき，曲線$C:y=e^x$と直線$y=tx$は相異なる$2$点で交わるので，交点のうち$x$座標が小さいものを$\mathrm{P}$，大きいものを$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．また，$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線との交点を$\mathrm{R}$とし，曲線$C$，$x$軸および$2$つの直線$x=\alpha$，$x=\beta$で囲まれる部分の面積を$S_1$，曲線$C$および$2$つの直線$\mathrm{PR}$，$\mathrm{QR}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \alpha<\frac{e}{t},\ \beta<2 \log t$となることを示し，$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．必要ならば，$x>0$のとき$e^x>x^2$であることを証明なしに用いてよい．