次の問いに答えよ．

(1)$x$がすべての実数を動くとき，$2^x+2^{-x}$の最小値を$m$とする．次の（ア），（イ）に答えよ．

\mon[（ア）] $m$の値を求め，$2^x+2^{-x}=m$を満たす$x$を求めよ．
\mon[（イ）] $k>m$のとき，$2^x+2^{-x}=k$を満たす$x$をすべて求めよ．

(2)$a$を定数とし，$a \leqq 2$とする．方程式
\[ 4^x+4^{-x}-3a \cdot 2^x-3a \cdot 2^{-x}+2(a^2+1)=0 \]
の異なる実数解の個数を求めよ．

$a$を正の定数とし，曲線$\displaystyle y=a \cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle y=\sin x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$y$軸によって囲まれる部分の面積が$\sqrt{3}-1$であるとする．次の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)曲線$\displaystyle y=a \cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$の交点を求めよ．
(3)曲線$\displaystyle y=a \cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle y=\tan x \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right)$と$y$軸によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$r$を$|r|<1$である実数とする．自然数$n$に対して
\[ S_n=1+2r+3r^2+\cdots +nr^{n-1} \]
とおく．
\[ S=\lim_{n \to \infty} S_n \]
を$r$の式で表せ．ただし$|r|<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} nr^n=0$であることを用いてよい．
(2)$n$を自然数とする．$2$人の弓道部員$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が矢を的に命中させる確率は，$\mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{4}{5}$，$\mathrm{B}$が$\displaystyle \frac{1}{2}$である．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が的に向かってそれぞれ$n$回ずつ矢を射る．

(i) $n=1$のとき，$\mathrm{A}$の射る矢が命中する確率を$p_1$とし，$\mathrm{A}$の射る矢が命中せずに$\mathrm{B}$の射る矢が命中する確率を$q_1$とする．$p_1+q_1$を求めよ．
(ii) $n \geqq 2$のとき，$1$回目から$(n-1)$回目まで$\mathrm{A}$の射る矢も$\mathrm{B}$の射る矢も命中せず，$n$回目に$\mathrm{A}$の射る矢が命中する確率を$p_n$とする．$p_n$を求めよ．
(iii) $n \geqq 2$のとき，$\mathrm{A}$の射る矢は$1$回目から$n$回目まで命中せず，$\mathrm{B}$の射る矢は$1$回目から$(n-1)$回目まで命中せずに$n$回目のみ命中する確率を$q_n$とする．$q_n$を求めよ．

(3)$(2)$で求めた$p_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して
\[ E=\sum_{n=1}^\infty (2n-1)p_n \]
とおく．$E$の値を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^{-x}x^2(x^2+ax+b) \]
で定める．ただし，$a,\ b$は実数，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数を$f^{\prime}(x)$とする．$f(-1)=10e$，$f^\prime(1)=0$のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$を$(1)$で求めた値とする．このとき$x \geqq 0$における$f(x)$の最大値，最小値を求め，そのときの$x$の値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることを用いてよい．

$f(x)=\cos x+\sin x-1$とする．$g(x)$は
\[ g(x)=|f(x)|-\frac{1}{4 \pi^2} \left\{ \int_0^{2\pi} tg(t) \, dt-3\pi \right\} \]
を満たす連続関数とする．次の問いに答えよ．

(1)区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$において$f(x)>0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int xf(x) \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} t |f(t)| \, dt$の値を求めよ．
(4)$g(x)$を求めよ．

$a \geqq 0$とするとき，$3$次関数$f(x)=x^3-3ax+a$について，次の問に答えよ．

(1)$a=1$のとき，$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$において$f(x) \geqq 0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．

座標平面上の曲線$y=x^2(1-x)$を$C$とし，直線$y=-x$を$\ell$とする．数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．$\displaystyle a_1=\frac{2}{5}$とし，$x=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$における$C$の接線と$\ell$の交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)$n$を自然数とするとき，$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$0<a_{n+1}<{a_n}^2$を示せ．

ひし形$D$の$2$つの対角線の長さを$2a,\ 2b$とする．$D$と同じ周の長さ，および同じ面積をもつ長方形を$R$とし，その$2$辺の長さを$x,\ y (x \leqq y)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$D$の周の長さ$s$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$R$の対角線の長さ$l$と$a+b$の大小を比較せよ．
(4)$a,\ b$が$s=4$を満たしながら動くとき，$l$のとりうる値の範囲を求めよ．

$m$を実数とする．方程式
\[ mx^2-my^2+(1-m^2)xy+5(1+m^2)y-25m=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面において，方程式$(*)$が表す図形は$2$直線であることを示せ．
(2)$(1)$で求めた$2$直線は$m$の値にかかわらず，それぞれ定点を通る．これらの定点を求めよ．
(3)$m$が$-1 \leqq m \leqq 3$の範囲を動くとき，$(1)$で求めた$2$直線の交点の軌跡を図示せよ．

関数$f(x)=\sin 3x-\cos 3x+3 \sin 2x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$t=\sin x+\cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とするとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$を$t$の関数として表せ．
(3)$f(x)$の最小値を求めよ．ただし，最小値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．