$xy$平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t (t>0)$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=t^2 \cos t,\quad y=t^2 \sin t \]
で表されている．原点を$\mathrm{O}$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルを$\overrightarrow{v}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\theta (t)$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \theta (t)$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{v}$が$y$軸に平行になるような$t (t>0)$のうち，最も小さいものを$t_1$，次に小さいものを$t_2$とする．このとき，不等式$t_2-t_1<\pi$を示せ．

$n$を相異なる素数$p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_k (k \geqq 1)$の積とする．$a,\ b$を$n$の約数とするとき，$a,\ b$の最大公約数を$G$，最小公倍数を$L$とし，
\[ f(a,\ b)=\frac{L}{G} \]
とする．

(1)$f(a,\ b)$が$n$の約数であることを示せ．
(2)$f(a,\ b)=b$ならば，$a=1$であることを示せ．
(3)$m$を自然数とするとき，$m$の約数であるような素数の個数を$S(m)$とする．$S(f(a,\ b))+S(a)+S(b)$が偶数であることを示せ．

$c$は正の整数とする．数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$は$a_1=1$，$a_2=c$であり，さらに漸化式
\[ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$a_n$は正の整数であり，かつ，$a_n$と$a_{n+1}$の最大公約数は$1$であることを示せ．
(2)${(-1)}^n(a_{n+1}^2-a_{n+2}a_n)$は$n$によらず一定の値であることを示せ．
(3)$c \geqq 2$とし，$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$とおくと
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
b_{n+1}>b_n & (n \text{が偶数のとき}) \\
b_{n+1}<b_n & (n \text{が奇数のとき})
\end{array} \right. \]
が成り立つことを示せ．

$f(x)=x^4-2x^3$とし，曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(\alpha,\ f(\alpha))$における接線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\alpha=1$のとき，$\ell$と$C$との$\mathrm{P}$以外の共有点をすべて求めよ．
(3)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外に$2$つの共有点を持つような$\alpha$の範囲を求めよ．
(4)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外の共有点$(\beta,\ f(\beta))$，$(\gamma,\ f(\gamma)) (\beta<\gamma)$を持つとする．このとき，$\gamma-\beta$が最大となる$\alpha$の値を求めよ．

$n$は$2$以上の自然数とし，
\[ f(\theta)=\frac{\cos^{n-1}\theta \sin^{n-1}\theta}{\cos^{2n}\theta+\sin^{2n}\theta} \]
とする．次の問いに答えよ．

(1)$t=\tan^n \theta$と変数変換することにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\theta) \, d\theta$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で$f(\theta)$の最大値および最小値を求めよ．

$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標および$y$座標がともに整数であるとき，$\mathrm{P}$を格子点とよぶ．また，自然数$n$に対して，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
0 \leqq x \leqq n \\
0 \leqq y \leqq n
\end{array} \right. \]
の表す領域を$R$とする．$R$内の$4$つの格子点を頂点とする正方形の個数を$q_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b) (a>0,\ b>0)$を結ぶ線分を$1$辺とする正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が第$1$象限に含まれるとき，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$k$は自然数とする．$4$点$(0,\ 0)$，$(k,\ 0)$，$(k,\ k)$，$(0,\ k)$を頂点とする正方形を$E$とする．$E$の辺上の格子点（$E$の頂点を含む）を$4$つの頂点とする正方形の個数を求めよ．
(3)$q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ．
(4)$q_n$を求めよ．

$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標および$y$座標がともに整数であるとき，$\mathrm{P}$を格子点とよぶ．また，自然数$n$に対して，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
0 \leqq x \leqq n \\
0 \leqq y \leqq n
\end{array} \right. \]
の表す領域を$R$とする．$R$内の$4$つの格子点を頂点とする正方形の個数を$q_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b) (a>0,\ b>0)$を結ぶ線分を$1$辺とする正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が第$1$象限に含まれるとき，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$k$は自然数とする．$4$点$(0,\ 0)$，$(k,\ 0)$，$(k,\ k)$，$(0,\ k)$を頂点とする正方形を$E$とする．$E$の辺上の格子点（$E$の頂点を含む）を$4$つの頂点とする正方形の個数を求めよ．
(3)$q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ．
(4)$q_n$を求めよ．

$f(x)=x^4-2x^3$とし，曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(\alpha,\ f(\alpha))$における接線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\alpha=1$のとき，$\ell$と$C$との$\mathrm{P}$以外の共有点をすべて求めよ．
(3)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外に$2$つの共有点を持つような$\alpha$の範囲を求めよ．
(4)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外の共有点$(\beta,\ f(\beta))$，$(\gamma,\ f(\gamma)) (\beta<\gamma)$を持つとする．このとき，$\gamma-\beta$が最大となる$\alpha$の値を求めよ．

$e$を自然対数の底とし，$0 \leqq x \leqq e$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_0^2 |e^t-x^2| \, dt$について，次の問いに答えよ．

(1)定積分を計算し，$f(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$の値もそれぞれ求めよ．

$i$を虚数単位，$r$を$1$より大きい実数とし，$\displaystyle w=r \left( \cos \frac{\pi}{24}+i \sin \frac{\pi}{24} \right)$とおく．また，数列$\{z_n\}$を次の式で定める．
\[ z_1=w,\quad z_{n+1}=z_nw^{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$z_2$を$r$を用いて表せ．
(2)$z_n$の偏角の$1$つを$n$を用いて表せ．
(3)複素数平面で原点を$\mathrm{O}$，$z_n$で表される点を$\mathrm{P}_n$とする．$7 \leqq n \leqq 48$のとき，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$が$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\frac{\pi}{3}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ．また，そのときの$z_n$の偏角$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲で求めよ．