座標平面上の放物線
\[ C_n:y=x^2-p_nx+q_n \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を考える．ただし，$p_n,\ q_n$は
\[ p_1^2-4q_1=4,\quad p_n^2-4q_n>0 \qquad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
を満たす実数とする．$C_n$と$x$軸との二つの交点を結ぶ線分の長さを$\ell_n$とする．また，$C_n$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S_n$は
\[ \frac{S_{n+1}}{S_n}=\left( \frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}} \right)^3 \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$C_n$の頂点の$y$座標を$\ell_n$を用いて表せ．
(2)数列$\{\ell_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$p_n=n \sqrt{n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \log \left( -\frac{2q_n}{n^2} \right)$を求めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．

$a,\ b,\ c$を$1$以上$7$以下の自然数とする．次の条件$(*)$を考える．

\mon[$(*)$] $3$辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形と，$3$辺の長さが$\displaystyle \frac{1}{a},\ \frac{1}{b},\ \frac{1}{c}$である三角形が両方とも存在する．

以下の問に答えよ．

(1)$a=b>c$であり，かつ条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
(2)$a>b>c$であり，かつ条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
(3)条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．

座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$C$とする．$a>2$，$0<\theta<\pi$とし，$x$軸上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$と楕円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．原点を$\mathrm{O}$とし，直線$\mathrm{AP}$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた点$\mathrm{R}$の$y$座標を$f(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{R}$の距離の$2$乗を$g(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$g(\theta)$の最小値を求めよ．

$a,\ b,\ c$を$1$以上$7$以下の自然数とする．次の条件$(*)$を考える．

\mon[$(*)$] $3$辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形と，$3$辺の長さが$\displaystyle \frac{1}{a},\ \frac{1}{b},\ \frac{1}{c}$である三角形が両方とも存在する．

以下の問に答えよ．

(1)$a=b>c$であり，かつ条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
(2)$a>b>c$であり，かつ条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
(3)条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．

$a,\ b,\ p$は$a>0$，$b>0$，$p<0$を満たす実数とする．座標平面上の$2$曲線
\[ C_1:y=e^x,\quad C_2:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を考える．ただし，$e$は自然対数の底である．$C_1$と$C_2$が点$(p,\ e^p)$を共有し，その点における$C_1$の接線と$C_2$の接線が一致するとき，次の問いに答えよ．

(1)$p$を$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}(p+a)$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}\frac{b^2e^{2a}}{a}$を求めよ．

$\alpha,\ \beta$は$\alpha>0$，$\beta>0$，$\alpha+\beta<1$を満たす実数とする．三つの放物線
\[ C_1:y=x(1-x),\quad C_2:y=x(1-\beta-x),\quad C_3:y=(x-\alpha)(1-x) \]
を考える．$C_2$と$C_3$の交点の$x$座標を$\gamma$とする．また，$C_1$，$C_2$，$C_3$で囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\gamma$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$S$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$\alpha,\ \beta$が$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{1}{4}$を満たしながら動くとき，$S$の最大値を求めよ．

四面体$\mathrm{OAPQ}$において，$\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{POQ}={60}^\circ$，$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OP}=p$，$\mathrm{OQ}=q$とし，頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OPQ}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．ただし，$p \leqq q$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．
(3)$p+q=3$，および$\triangle \mathrm{APQ}$の面積が$1$のとき，以下の値を求めよ．
\[ (1) \ pq \qquad (2) \ p \qquad (3) \ \text{四面体} \mathrm{OAPQ} \text{の体積} \]

$n$を$2$以上の自然数とし，$1$から$n$までの自然数$k$に対して，番号$k$をつけたカードをそれぞれ$k$枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から$2$枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．

(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード$2$枚の番号が両方とも$k$である確率を$n$と$k$の式で表せ．
(3)引いたカード$2$枚の番号が一致する確率を$n$の式で表せ．
(4)引いたカード$2$枚の番号が異なっている確率を$p_n$とする．不等式$p_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$の値を求めよ．

$m,\ n$を自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)$m \geqq 2$，$n \geqq 2$とする．異なる$m$種類の文字から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき，ちょうど$2$種類の文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(2)$n \geqq 3$とする．$3$種類の文字$a,\ b,\ c$から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき$a,\ b,\ c$すべての文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(3)$n \geqq 3$とする．$n$人を最大$3$組までグループ分けする．このときできたグループ数が$2$である確率$p_n$を求めよ．ただし，どのグループ分けも同様に確からしいとする．
たとえば，$n=3$のとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人をグループ分けする方法は
$\{(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{B})\}$
$\{(\mathrm{B},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{A})\},\quad \{(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\}$
の$5$通りであるので，$\displaystyle p_3=\frac{3}{5}$である．
(4)$(3)$の確率$p_n$が$\displaystyle \frac{1}{3}$以下となるような$n$の範囲を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とし，$a<1$とする．座標平面上の$2$曲線
\[ C_1:y=x^2-x,\quad C_2:y=x^3+bx^2+cx-a \]
を考える．$C_1$と$C_2$は，点$\mathrm{P}(1,\ 0)$と，それとは異なる点$\mathrm{Q}$を通る．また，点$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線の傾きは等しいものとする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}$における$C_1$の接線を$\ell_2$，点$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線を$\ell_3$とする．次の問いに答えよ．

(1)$b,\ c$および点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$が三角形をつくらないような$a$の値を求めよ．
(3)$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$が直角三角形をつくるような$a$の値の個数を求めよ．