関数$f(x)=x-\log x (x>0)$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減，極値と，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(e,\ f(e))$における接線を$\ell$とする．

(i) $\ell$の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$y=f(x)$，接線$\ell$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)曲線$y=f(x)$，曲線$y=\log x$，直線$x=1$および直線$x=e$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

$a,\ b$は定数で$b>0$とする．$2$つの$2$次方程式

$x^2+2ax-a^2+b=0 \qquad \cdots①$
$\displaystyle x^2+ax+a+\frac{5}{4}=0 \qquad \;\!\cdots②$

について，以下の問いに答えなさい．

(1)$b=2$とするとき，$2$つの$2$次方程式$①$と$②$がともに実数解をもつような$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)$\displaystyle b=\frac{1}{2}$とするとき，$2$つの$2$次方程式$①$と$②$のどちらか一方だけが実数解をもつような$a$の値の範囲を求めなさい．
(3)$2$次方程式$①$が実数解をもち，$2$次方程式$②$が実数解をもたないような$a$の値の範囲を$b$を用いて表しなさい．

関数$f(\theta)=\sqrt{2}(\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta)-\cos \theta(\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta)$について次の問いに答えなさい．ただし$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$とする．

(1)$t=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$とおくとき，$t$の値の取りうる範囲を求めなさい．
(2)$\cos \theta (\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta)$を$t$を用いて表しなさい．
(3)関数$f(\theta)$を$t$を用いて表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$の最大値と最小値，および最大値と最小値を与える$t$の値を求めなさい．
(4)関数$f(\theta)$の最大値と最小値，および最大値と最小値を与える$\theta$の値を求めなさい．

$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ．
\[ 2 \cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) \]
(2)数学的帰納法によって，次の等式を証明せよ．
\[ 2 \sin \frac{\theta}{2} \sum_{l=1}^n \cos l \theta=\sin \left( n+\frac{1}{2} \right) \theta-\sin \frac{\theta}{2} \]
(3)$m$を整数とする．$\theta \neq 2m\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．ただし，等号が成立する条件は調べなくてよい．
\[ |\sum_{l=1|^n \cos l \theta} \leqq \frac{1}{2} \left( 1+{|\sin \displaystyle\frac{\theta|{2}}}^{-1} \right) \]

関数$y=e^{-x}$で表される曲線を$C$とする．また，$t$は$0<t<2$をみたす実数とし，$x=t$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$y$軸，曲線$C$および接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$，$x$軸，直線$x=3$，曲線$C$および接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．$S_1(t)+S_2(t)$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S_1(t)+S_2(t)$の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$，$y>0$のとき，不等式$\displaystyle \frac{x+y}{2} \geqq \sqrt{xy}$を証明せよ．また，等号が成り立つときを調べよ．

(2)$a>0$，$b>0$，$c>0$で，$a \neq 1$，$c \neq 1$のとき，等式$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$を証明せよ．

(3)$p>1$，$q>1$のとき，不等式$\log_p q+\log_q p \geqq 2$を証明せよ．また，等号が成り立つときを調べよ．

次の問いに答えよ．

(1)$5$以下の異なる$3$個の自然数の総和として表される自然数は何個あるか．
(2)自然数$m,\ n$を$m<n$のようにとる．$m$個の自然数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_m$を
\[ 1 \leqq a_1<a_2< \cdots <a_m \leqq n \]
のようにとり，和$a_1+a_2+\cdots+a_m$を考える．この形で表される自然数は何個あるか．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に，中心角$\theta$の弧$\mathrm{AB}$をとる．ただし，点$\mathrm{A}$の座標を$(1,\ 0)$，$\displaystyle 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)扇形$\mathrm{OAB}$を$x$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_1(\theta)$を求めよ．
(2)扇形$\mathrm{OAB}$を$y$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_2(\theta)$を求めよ．
(3)体積の差$V(\theta)=V_2(\theta)-V_1(\theta)$を$\theta$の関数として，そのグラフをかけ．

次の問いに答えよ．

(1)次の計算をせよ．ただし，$i$は虚数単位である．


(i) $\displaystyle \int_1^e x^9 \log x \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos \left( \frac{k\pi}{2n} \right)=[ロ]$

(iii) $(-1+i)^{21}=[ハ]$


(2)$1333$と$1147$の最大公約数は$[ニ]$である．
(3)方程式$8^x+4^x=9 \times 2^x+9$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x \leqq \pi$において関数$y=2 \sin^2 x+2 \cos x+1$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$|\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC|}}=\sqrt{13}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=24$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}=[チ]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[リ]$である．

袋の中に，赤玉，青玉，白玉，黒玉が$1$つずつ，全部で$4$つ入っている．この袋から玉を$1$つ取り出して，また袋に戻す試行を繰り返す．座標平面上を動く点$\mathrm{P}$がはじめ原点$\mathrm{O}$にあり，試行のたびに，次の規則に従って動くものとする．
\begin{itemize}
赤玉が出たとき，$\mathrm{P}$は$x$軸の正の向きに$2$だけ進む．
青玉が出たとき，$\mathrm{P}$は$x$軸の正の向きに$1$だけ進む．
白玉が出たとき，$\mathrm{P}$は$y$軸の正の向きに$2$だけ進む．
黒玉が出たとき，$\mathrm{P}$は$y$軸の正の向きに$1$だけ進む．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)試行を$3$回繰り返した結果，$\mathrm{P}$が点$(2,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)試行を$3$回繰り返した結果，$\mathrm{P}$が$y$軸上にある確率を求めよ．
(3)試行を$5$回繰り返した結果，$\mathrm{OP}=5$となる確率を求めよ．
(4)試行を$5$回繰り返した結果，$\mathrm{P}$が不等式$6 \leqq x+y \leqq 8$の表す領域にある確率を求めよ．