座標平面上の曲線$y=e^x-1$を$C$とする．曲線$C$と2直線$y=0,\ x=t$で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$と2直線$y=2,\ x=t$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．ただし，$0<t<\log 3$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$S_1=S_2$となるときの$t$の値を求めよ．
(2)$S_1+S_2$が最小となるときの$t$の値を求めよ．

行列
$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
a & 0
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)$A$の逆行列を求めよ．
(2)$A$の表す1次変換によって，双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$上のある点が，点$(-1,\ 1)$に移されるとする．このとき，$a$の値を求めよ．

$\displaystyle I_n=\int_0^c \sin^n x \cos^5 x \, dx$，$\displaystyle J_n=\int_0^c \sin^n x \cos x \, dx$，$K_n=J_n-J_{n+2}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数であり，$c$は正の定数である．

(1)$I_n$を$K_n$と$K_{n+2}$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle A_n=\sum_{m=1}^n I_m$を$K_1,\ K_2,\ K_{n+1},\ K_{n+2}$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle c=\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle K_n=\frac{2}{(n+a_1)(n+a_2)}$となる定数$a_1$と$a_2$を求めよ．ただし，$a_1<a_2$とする．
(4)$\displaystyle c=\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \alpha(A_n+\beta)n^2=1$となる定数$\alpha$と$\beta$を求めよ．

関数$y=f(x)$は$0$以上の実数$x$に対して定義され，正の値をとる関数である．図はこの関数のグラフの一部を表している．$0 \leqq t<u$を満たす$2$つの実数$t$と$u$に対して，$x$軸，$2$つの直線$x=t$，$x=u$とこのグラフとで囲まれた領域（網掛け部分）の面積を$S(t,\ u)$と書くことにする．また，面積が$S(t,\ u)$と等しい長方形$\mathrm{ATUB}$を図のようにとり，その高さ$\mathrm{AT}$を$g(t,\ u)$で表すとき，$g(t,\ u)$は$t,\ u$の式として次のようになった．
\[ g(t,\ u)=t^2+tu+u^2+t+u+5 \]
以下の問に答えなさい．

(1)$S(1,\ 3)$を求めなさい．
(2)$S_0(x)=S(0,\ x)$とおく．このとき，$g(t,\ u)$を関数$S_0(x)$を用いて表しなさい．
(3)正の実数$x$に対して，$f(x)$を求めなさい．
（図は省略）

$\displaystyle \frac{\pi}{12} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}$とおく．$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$a$を正の定数とする．$\displaystyle y=\tan^2 \theta+\frac{1}{\tan^2 \theta}-a \left( \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta} \right)$のとり得る値の範囲を求めよ．

関数$f(x),\ g(x),\ h(x),\ k(x)$を次のように定める．

$f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$
$g(x)=(\pi-x) \{ x^2-(2+2\pi)x+1+2\pi+\pi^2 \}$

$\displaystyle h(x)=\frac{g(x)-|g(x)|}{2}$

$\displaystyle k(x)=\frac{f(x)+|f(x)|}{2}+h(x)$


(1)関数$f(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ，グラフの概形をかけ．
(2)関数$h(x)$の値の増減を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$において調べ，グラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{11}{6}\pi$の範囲を動くとき，$k(x)$の最大値と最小値，およびそれらをとる$x$の値を求めよ．

曲線$C:y=\sqrt{4x-x^2-3} (1 \leqq x \leqq 3)$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$のグラフをかけ．
(2)$k$は定数とする．直線$y=x+k$と曲線$C$が接する点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 4)$がある．点$\mathrm{Q}$が曲線$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABQ}$の面積の最小値を求めよ．

方程式$\displaystyle \log (2x)-\log (4x) \log \left( \frac{4}{x} \right)=0$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は常用対数である．

(1)この方程式が異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．
(2)$\alpha,\ \beta$は，この方程式の異なる$2$つの実数解で，$\alpha<\beta$とする．$\alpha,\ \beta,\ 1,\ 2$を小さい順に並べよ．

$a$は$a \leqq 1$を満たす実数の定数とする．$x \geqq 1-a$で連続な関数$f(x)$が
\[ \int_{1-a}^x f(t)(x-t) \, dt=24(x+a)^2 \log (x+a)-x^4-24x \quad (x \geqq 1-a) \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$の値と$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 1-a$で$f(x)$の増減をしらべ，極値を求めよ．

赤玉$n$個，白玉$n$個，合計$2n$個（$n \geqq 2$）の玉を無作為に左から$1$列に並べるとき，得点$X$を次のように定める．

(i) 赤玉が連続している部分が$m$ヶ所（$m \geqq 1$）あり，そこに含まれる赤玉の総数が$l$であるとき，$X=l-m+1$とする．
(ii) 赤玉が連続している部分がないときは，$X=1$とする．

たとえば，$n=5$のとき，赤赤白赤赤白赤白白白ならば，$X=4-2+1=3$である．

(1)$n=6$のとき，並べ方は全部で何通りあるか求めよ．また，このとき$X=1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$となる並べ方はそれぞれ何通りあるか求め，$X$の期待値$E(X)$を求めよ．
(2)$n=k (k \geqq 7)$のとき，$X=3,\ 4$となる並べ方の総数をそれぞれ$k$を用いて表せ．