「不等号」について
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国立 宮崎大学 2011年 第4問次の各問に答えよ．
(1)方程式$(\sqrt{2}+1)^x+(\sqrt{2}-1)^x=6$について，(A)，(B)に答えよ．
\mon[(A)] $(\sqrt{2}+1)^x=\alpha,\ (\sqrt{2}-1)^x=\beta$とするとき，$\alpha\beta$の値を求めよ．
\mon[(B)] 方程式の解のうち最大のものを$m$とするとき，$m$の値を求めよ．
(2)$t>4$を満たすすべての$t$について，不等式
\[ (\log_2 t)^2-b \log_2 t+2>0 \]
が成り立つ$b$の範囲を求めよ．
(1)方程式$(\sqrt{2}+1)^x+(\sqrt{2}-1)^x=6$について，(A)，(B)に答えよ．
\mon[(A)] $(\sqrt{2}+1)^x=\alpha,\ (\sqrt{2}-1)^x=\beta$とするとき，$\alpha\beta$の値を求めよ．
\mon[(B)] 方程式の解のうち最大のものを$m$とするとき，$m$の値を求めよ．
(2)$t>4$を満たすすべての$t$について，不等式
\[ (\log_2 t)^2-b \log_2 t+2>0 \]
が成り立つ$b$の範囲を求めよ．
国立 福井大学 2011年 第5問Oを原点とする座標平面上に3点A$(1,\ 0)$，B$(1,\ 1)$，C$(0,\ c)$がある．ただし，$c$は正の定数とする．$t$を$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数とし，線分AB，BCを$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれP，Qとする．ただし，例えば線分ABを$t:(1-t)$に内分する点は，$t=0$のときはA，$t=1$のときはBとする．$\triangle$OPQの面積を$S(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle I=\int_0^1 S(t) \, dt$の値が台形OABCの面積の$\displaystyle \frac{2}{5}$倍に等しくなるとき，$c$と$I$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$0 \leqq t <1$に対し，線分QOを$t:(1-t)$に内分する点をRとし，$\triangle$OPRの面積を$T(t)$とする．$T(t)$が$\displaystyle t=\frac{1}{3}$で最大となるような$c$の値と，そのときの$T(t)$の最大値を求めよ．
(1)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle I=\int_0^1 S(t) \, dt$の値が台形OABCの面積の$\displaystyle \frac{2}{5}$倍に等しくなるとき，$c$と$I$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$0 \leqq t <1$に対し，線分QOを$t:(1-t)$に内分する点をRとし，$\triangle$OPRの面積を$T(t)$とする．$T(t)$が$\displaystyle t=\frac{1}{3}$で最大となるような$c$の値と，そのときの$T(t)$の最大値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2011年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．
(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．
国立 鹿児島大学 2011年 第2問$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．
(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．
(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
国立 東京農工大学 2011年 第1問座標平面上に放物線$y=x^2-2x+3$と点A$(2,\ t) \ (t<3)$がある．この放物線に点Aから引いた2本の接線の接点をそれぞれP，Qとする．ただし，$x$座標の大きな方をPとする．また，2点P，Qを通る直線と$y$軸との交点をRとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Pの$x$座標を$t$の式で表せ．
(2)点Rの$y$座標を$t$の式で表せ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$が垂直になるような$t$の値を$t_0$とする．$t_0$を求めよ．
(4)$t=t_0$のときのA，P，Q，Rについて，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$と表す．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．ただし，$\alpha,\ \beta$は実数とする．
(1)点Pの$x$座標を$t$の式で表せ．
(2)点Rの$y$座標を$t$の式で表せ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$が垂直になるような$t$の値を$t_0$とする．$t_0$を求めよ．
(4)$t=t_0$のときのA，P，Q，Rについて，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$と表す．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．ただし，$\alpha,\ \beta$は実数とする．
国立 鹿児島大学 2011年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．
(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．
国立 鹿児島大学 2011年 第2問$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．
(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．
(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2011年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．
(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．
国立 宮崎大学 2011年 第5問方程式$\tan x=x$について，次の各問に答えよ．ただし，必要であれば，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$を満たす$x$について，不等式$\sin x <x < \tan x$が成り立つことを用いてもよい．
(1)各自然数$n$について，$\displaystyle n\pi-\frac{\pi}{2}<x<n\pi+\frac{\pi}{2}$の範囲に方程式$\tan x=x$の解がただ1つ存在することを示せ．
(2)各自然数$n$について，(1)で存在が示された解を$x_n$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n \left( n\pi+\frac{\pi}{2}-x_n \right)$を求めよ．
(1)各自然数$n$について，$\displaystyle n\pi-\frac{\pi}{2}<x<n\pi+\frac{\pi}{2}$の範囲に方程式$\tan x=x$の解がただ1つ存在することを示せ．
(2)各自然数$n$について，(1)で存在が示された解を$x_n$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n \left( n\pi+\frac{\pi}{2}-x_n \right)$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2011年 第3問$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．
(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．
(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．