以下の問いに答えよ．

(1)$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数，$i$を虚数単位とし，$z$を$z=\cos \theta+i \sin \theta$で表される複素数とする．このとき，整数$n$に対して次の式を証明せよ．
\[ \cos n\theta=\frac{1}{2} \left( z^n+\frac{1}{z^n} \right),\quad \sin n\theta=-\frac{i}{2} \left( z^n-\frac{1}{z^n} \right) \]
(2)次の方程式を満たす実数$x (0 \leqq x<2\pi)$を求めよ．
\[ \cos x+\cos 2x-\cos 3x=1 \]
(3)次の式を証明せよ．
\[ \sin^2 {20}^\circ+\sin^2 {40}^\circ+\sin^2 {60}^\circ+\sin^2 {80}^\circ=\frac{9}{4} \]

座標平面上の曲線$C_1,\ C_2$をそれぞれ

$C_1:y=\log x \quad (x>0)$
$C_2:y=(x-1)(x-a)$

とする．ただし，$a$は実数である．$n$を自然数とするとき，曲線$C_1$，$C_2$が$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わり，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標はそれぞれ$1,\ n+1$となっている．また，曲線$C_1$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$S_n$，曲線$C_2$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$T_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$を$n$の式で表し，$a>1$を示せ．
(2)$S_n$と$T_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．

(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n \log T_n}$を求めよ．

$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．面積が$1$である三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$をそれぞれ$2:1$，$t:1-t$，$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．また，$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BF}$，$\mathrm{BF}$と$\mathrm{CD}$，$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AE}$の交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$3$直線$\mathrm{AE}$，$\mathrm{BF}$，$\mathrm{CD}$が$1$点で交わるときの$t$の値$t_0$を求めよ．



以下，$t$は$0<t<t_0$を満たすものとする．


\mon[$(2)$] $\mathrm{AP}=k \mathrm{AE}$，$\mathrm{CR}=\ell \mathrm{CD}$を満たす実数$k,\ \ell$をそれぞれ求めよ．
\mon[$(3)$] 三角形$\mathrm{BCQ}$の面積を求めよ．
\mon[$(4)$] 三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

$f(x)=|x(x-2)|+|(x-1)(x-4)|+3x-10 (-2 \leqq x \leqq 4)$とおく．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．グラフと$x$軸との$2$つの交点の$x$座標$\alpha$，$\beta (\alpha<\beta)$の値も求めよ．
(2)$(1)$の$\alpha,\ \beta$に対して，定積分$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} f(x) \, dx$の値を求めよ．

$n$を自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$a>0$，$n \geqq 3$のとき，次の不等式が成り立つことを証明しなさい．
\[ {(1+a)}^n>\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3 \]
(2)$r>1$のとき，極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n} \]
を求めなさい．

$n$を自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\alpha,\ \beta$を実数とし，
\[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \]
とする．$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について，次の等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明しなさい．
\[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2)$b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし，
\[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \]
とする．また，$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し，$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく．

(i) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい．
(ii) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい．

座標空間に$4$点
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(s,\ s,\ s),\quad \mathrm{B}(-1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{C}(0,\ 0,\ 1) \]
がある．ただし，$s>0$とする．$t,\ u,\ v$を実数とし，
\[ \overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-t \overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-u \overrightarrow{\mathrm{OA}}-v \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
とおく．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{d}$のとき，$t$を$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{e}$，$\overrightarrow{d} \perp \overrightarrow{e}$のとき，$u,\ v$を$s$を用いて表せ．
(3)$(2)$のとき，$2$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{e} \]
となる点とする．四面体$\mathrm{OADE}$の体積が$2$であるとき，$s$の値を求めよ．

曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとる．ただし$b>-1$とする．このとき，次の条件を満たす$b$の範囲を求めよ．


\mon[条件：] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-1<t<b)$で，$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する．

曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 4)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとる．ただし$b>-2$とする．このとき，次の条件を満たす$b$の範囲を求めよ．


\mon[条件：] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-2<t<b)$で，$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する．

$e$を自然対数の底，すなわち$\displaystyle e=\lim_{t \to \infty} \left( 1+\frac{1}{t} \right)^t$とする．すべての正の実数$x$に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x<e<\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x+\frac{1}{2}} \]