「不等号」について
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国立 宇都宮大学 2016年 第4問$a$を$0<a<1$である実数とする．座標平面において，直線$y=a$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=1$で囲まれた部分を$D_1$とし，曲線$y=(x-1)^2+1$と直線$y=a$および$2$直線$x=0$，$x=a$で囲まれた部分を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)座標平面に$D_1$と$D_2$を図示せよ．
(2)$D_1$の面積$S_1$を$a$の式で表せ．
(3)$D_2$の面積$S_2$を$a$の式で表せ．
(4)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$を最大にする$a$の値を求めよ．
(1)座標平面に$D_1$と$D_2$を図示せよ．
(2)$D_1$の面積$S_1$を$a$の式で表せ．
(3)$D_2$の面積$S_2$を$a$の式で表せ．
(4)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$を最大にする$a$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第4問$a$を$0<a<1$である実数とする．座標平面において，直線$y=a$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=1$で囲まれた部分を$D_1$とし，曲線$y=(x-1)^2+1$と直線$y=a$および$2$直線$x=0$，$x=a$で囲まれた部分を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)座標平面に$D_1$と$D_2$を図示せよ．
(2)$D_1$の面積$S_1$を$a$の式で表せ．
(3)$D_2$の面積$S_2$を$a$の式で表せ．
(4)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$を最大にする$a$の値を求めよ．
(1)座標平面に$D_1$と$D_2$を図示せよ．
(2)$D_1$の面積$S_1$を$a$の式で表せ．
(3)$D_2$の面積$S_2$を$a$の式で表せ．
(4)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$を最大にする$a$の値を求めよ．
国立 浜松医科大学 2016年 第2問$r$を$1<r<3$を満たす実数，$k$を$|r-2|<k<1$を満たす実数とする．また，次の関数$f(x)$を考える．
\[ f(x)=rx(1-x) \]
以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)=x$を満たす$x$を求めよ．
以下の問題では，$(1)$で求めた$x$のうちで正のものを$x_r$とする．
\mon[$(2)$] 次の条件
$|x-x_r|<a$を満たすすべての$x$について$|f^\prime(x)|<k$
が成り立つような正の実数$a$が存在することを証明せよ．
\mon[$(3)$] $(2)$の$a$に対して，数列$\{x_n\}$を
\[ |x_1-x_r|<a,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．
(i) すべての自然数$n$について$|x_n-x_r|<a$であることを証明せよ．
(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=x_r$を証明せよ．
\[ f(x)=rx(1-x) \]
以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)=x$を満たす$x$を求めよ．
以下の問題では，$(1)$で求めた$x$のうちで正のものを$x_r$とする．
\mon[$(2)$] 次の条件
$|x-x_r|<a$を満たすすべての$x$について$|f^\prime(x)|<k$
が成り立つような正の実数$a$が存在することを証明せよ．
\mon[$(3)$] $(2)$の$a$に対して，数列$\{x_n\}$を
\[ |x_1-x_r|<a,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．
(i) すべての自然数$n$について$|x_n-x_r|<a$であることを証明せよ．
(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=x_r$を証明せよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第1問$p,\ q$を正の整数とする．数字$0$の書かれた$p$枚のカードと，数字$1$の書かれた$q$枚のカードを横一列に並べて得られる$0$と$1$からなる$(p+q)$個の数字の列を考える．このような列$X$に対して，$1 \leqq i<j \leqq p+q$かつ，左から$i$番目のカードの数字が$1$であり，左から$j$番目のカードの数字が$0$であるような正の整数の対$(i,\ j)$の個数を$f(X)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
国立 宇都宮大学 2016年 第1問$p,\ q$を正の整数とする．数字$0$の書かれた$p$枚のカードと，数字$1$の書かれた$q$枚のカードを横一列に並べて得られる$0$と$1$からなる$(p+q)$個の数字の列を考える．このような列$X$に対して，$1 \leqq i<j \leqq p+q$かつ，左から$i$番目のカードの数字が$1$であり，左から$j$番目のカードの数字が$0$であるような正の整数の対$(i,\ j)$の個数を$f(X)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
国立 宇都宮大学 2016年 第5問座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\sin \pi x \left( 0<x<\frac{1}{2} \right)$の上に点$\mathrm{P}(a,\ \sin \pi a)$をとる．点$\mathrm{P}$における$C$の接線と法線をそれぞれ$\ell$，$m$とする．$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}(0,\ q)$，$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}(r,\ 0)$とし，点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求め，$q$を$a$を用いて表せ．
(2)法線$m$の方程式を求め，$r$を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$C$，直線$m$，および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする．極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求め，$q$を$a$を用いて表せ．
(2)法線$m$の方程式を求め，$r$を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$C$，直線$m$，および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする．極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第1問$p,\ q$を正の整数とする．数字$0$の書かれた$p$枚のカードと，数字$1$の書かれた$q$枚のカードを横一列に並べて得られる$0$と$1$からなる$(p+q)$個の数字の列を考える．このような列$X$に対して，$1 \leqq i<j \leqq p+q$かつ，左から$i$番目のカードの数字が$1$であり，左から$j$番目のカードの数字が$0$であるような正の整数の対$(i,\ j)$の個数を$f(X)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
国立 山梨大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3$または$7$で割り切れる$100$以下の自然数の和を求めよ．
(2)座標平面上で，不等式$(2x^2-y)(x^2+y^2-3) \leqq 0$が表す領域を図示せよ．
(3)$\left\{ \begin{array}{l}
2 \sin \alpha+2 \cos \beta=1 \\
2 \cos \alpha-2 \sin \beta=\sqrt{3}
\end{array} \right.$とする．このとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．ただし，$0 \leqq \alpha<2\pi$かつ$0 \leqq \beta<2\pi$とする．
(4)$1 \leqq x \leqq 25$，$26x+7y=2$を満たす整数$x,\ y$の組をすべて求めよ．
(1)$3$または$7$で割り切れる$100$以下の自然数の和を求めよ．
(2)座標平面上で，不等式$(2x^2-y)(x^2+y^2-3) \leqq 0$が表す領域を図示せよ．
(3)$\left\{ \begin{array}{l}
2 \sin \alpha+2 \cos \beta=1 \\
2 \cos \alpha-2 \sin \beta=\sqrt{3}
\end{array} \right.$とする．このとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．ただし，$0 \leqq \alpha<2\pi$かつ$0 \leqq \beta<2\pi$とする．
(4)$1 \leqq x \leqq 25$，$26x+7y=2$を満たす整数$x,\ y$の組をすべて求めよ．
国立 山梨大学 2016年 第2問曲線$C_1:y=(x-a)^2-4$と直線$\ell:y=2x-7$が点$\mathrm{P}$で接している．曲線$C_2$は，$y=-x^2$を平行移動した曲線で，$\mathrm{P}$を通り，直線$y=6$の$x<0$の部分に接している．ただし，$a$は実数とする．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$C_2$の方程式を求め，$C_1$と$C_2$の共有点の座標をすべて求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$C_2$の方程式を求め，$C_1$と$C_2$の共有点の座標をすべて求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 山梨大学 2016年 第3問関数$f(x)=x \sqrt{4-x^2}$に対し，曲線$y=f(x)$を$C$とする．
(1)$f(x)$の増減を調べよ．ただし，$f(x)$の第$2$次導関数を調べる必要はない．
(2)$C$上の点$(1,\ \sqrt{3})$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C$の$0 \leqq x \leqq \sqrt{2}$の部分，直線$x=\sqrt{2}$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)$C$と$x$軸の$x \geqq 0$の部分で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．
(1)$f(x)$の増減を調べよ．ただし，$f(x)$の第$2$次導関数を調べる必要はない．
(2)$C$上の点$(1,\ \sqrt{3})$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C$の$0 \leqq x \leqq \sqrt{2}$の部分，直線$x=\sqrt{2}$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)$C$と$x$軸の$x \geqq 0$の部分で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．