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国立 宮崎大学 2016年 第1問$y>0$とするとき，不等式
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき，この不等式を，$X$を用いて表せ．
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ．
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき，この不等式を，$X$を用いて表せ．
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ．
国立 防衛医科大学校 2016年 第1問以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n 12k(100)^{n-k} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で表される数列$\{a_n\}$がある．$a_{17}-a_6$の下$1$桁から$12$桁までの数の和はいくらか．
(2)関数
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
2x & \left( 0 \leqq x<\displaystyle\frac{1}{2} \right) \phantom{\displaystyle\frac{2}{1}} \\
-2x+2 & \left( \displaystyle\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1 \right) \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
とする．このとき，$\displaystyle \int_0^1 |f(f(x))-\sin 2\pi x| \, dx$はいくらか．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \displaystyle\frac{2x-2}{2x-1}-\displaystyle\frac{2}{{(2x-1)}^2} \right)^{3x}$を求めよ．
(1)$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n 12k(100)^{n-k} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で表される数列$\{a_n\}$がある．$a_{17}-a_6$の下$1$桁から$12$桁までの数の和はいくらか．
(2)関数
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
2x & \left( 0 \leqq x<\displaystyle\frac{1}{2} \right) \phantom{\displaystyle\frac{2}{1}} \\
-2x+2 & \left( \displaystyle\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1 \right) \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
とする．このとき，$\displaystyle \int_0^1 |f(f(x))-\sin 2\pi x| \, dx$はいくらか．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \displaystyle\frac{2x-2}{2x-1}-\displaystyle\frac{2}{{(2x-1)}^2} \right)^{3x}$を求めよ．
国立 和歌山大学 2016年 第5問複素数平面上に原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(5)$，$\mathrm{B}(-10-5i)$，$\mathrm{C}(3+4i)$をとる．$\triangle \mathrm{OAB}$を，点$\mathrm{O}$が点$\mathrm{C}$に重なるように平行移動し，さらに点$\mathrm{C}$のまわりに$\theta$だけ回転した．このとき，点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{A}^\prime(\alpha)$に，点$\mathrm{B}$は点$\mathrm{B}^\prime(\beta)$に移った．ただし，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta \leqq \frac{\pi}{2}$とし，$\alpha,\ \beta$は複素数とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{A}^\prime$が一直線上にあるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\alpha,\ \sin \theta$の値を求めよ．
(2)$\beta$の値を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{OA}^\prime$の大きさを求めよ．
(1)$\alpha,\ \sin \theta$の値を求めよ．
(2)$\beta$の値を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{B}^\prime \mathrm{OA}^\prime$の大きさを求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第3問複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$（$i$は虚数単位）の$3$つの解を，その偏角$\theta$（ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$）の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．複素数平面上で，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$（$x,\ y$は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ．
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$（$x,\ y$は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第4問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
国立 宮崎大学 2016年 第5問$k>0$，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上の原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$に対し，第一象限の点$\mathrm{P}$を，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$を満たすように円$D:x^2+y^2=1$上にとり，直線$\mathrm{OP}$と直線$x=k \theta$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で動かすときの点$\mathrm{Q}$の軌跡を曲線$y=f(x)$とし，関数$\displaystyle y=g(x)=\frac{f(x)}{x}$で定める曲線を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき，$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ．
(3)関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(4)曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$k$を用いて表せ．
(1)$r(\theta)=\mathrm{OQ}$とするとき，$\displaystyle \lim_{\theta \to +0} r(\theta)$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$がつねに円$D$の内部にあるための$k$の条件を求めよ．
(3)関数$g(x)$の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．
(4)曲線$C$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}k$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}k$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を，$k$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2016年 第3問$y>0$とするとき，不等式
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき，この不等式を，$X$を用いて表せ．
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ．
\[ y^{\frac{2}{x}}+y^{-\frac{2}{x}}-6(y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}})+10 \leqq 0 \]
について，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle X=y^{\frac{1}{x}}+y^{-\frac{1}{x}}$とするとき，この不等式を，$X$を用いて表せ．
(2)この不等式を満たす点$(x,\ y)$の全体が表す図形を座標平面上に図示せよ．
国立 鹿児島大学 2016年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
国立 宮崎大学 2016年 第2問複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$（$i$は虚数単位）の$3$つの解を，その偏角$\theta$（ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$）の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．複素数平面上で，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$（$x,\ y$は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ．
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$（$x,\ y$は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第4問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．