座標平面上で連立不等式
\[ y \geqq x^2-1,\quad y \leqq x+5,\quad y \leqq -3x+9 \]
の表す領域の面積を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$(3x+2)(2x^2-5x+3)$を展開すると，$[$1$]$となる．
(2)男子$5$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，女子$3$人が続いて並ぶ方法は$[$2$]$通り，一端に男子，もう一端に女子が並ぶ方法は$[$3$]$通りある．
(3)$\displaystyle \frac{1+2i}{1-3i}+\frac{1-4i}{1+3i}=a+bi$（$a,\ b$は実数）と表すとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．
(4)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$個の数字を用いて$3$桁の整数をつくるとき，奇数は全部で$[$6$]$個できる．ただし，同じ数字を繰り返し用いてもよい．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=-2 \sin^2 \theta+8 \cos \theta+3$は，$\theta=[$7$]$のとき，最小値$[$8$]$をとる．
(6)不等式$\displaystyle \frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．また，$-2 \leqq x \leqq 0$において関数$\displaystyle y=\frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81$は，$x=[$10$]$のとき，最小値$[$11$]$をとる．

$a$を正の実数とする．座標平面上で連立不等式
\[ y \leqq x^2,\quad y \geqq ax,\quad -1 \leqq x \leqq 0 \]
の表す領域の面積を$S_1$とし，連立不等式
\[ y \geqq x^2,\quad y \leqq ax \]
の表す領域の面積を$S_2$とする．このとき，面積の差$S_1-S_2$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

$a$を実数とする．関数$f(x)=x^3-ax$を考える．次の設問に答えよ．

(1)$f(x)$が区間$-1<x<1$において極値をとるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の区間$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値が$\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}$となる$a$の値をすべて求めよ．

$a,\ b,\ c$は整数，$n$は$0$以上の整数とする．座標空間において，次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たす点$(a,\ b,\ c)$の個数を$S(n)$とする．

$(ⅰ)$ $a+b+c=0$
$(ⅱ)$ $|a|+|b|+|c| \leqq n$

次の設問に答えよ．

(1)$S(2)$を求めよ．
(2)$S(2n)$を求めよ．

$2$つの関数

$f(x)=2x^3-3x^2-12x$
$g(x)=-9x^2+6x+a$

に対して，次の問に答えよ．ただし$a$は定数とする．

(1)$f(x)$の極大値および極小値を与える$x$の値をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とおく．$\alpha$および$\beta$の値を求めよ．
(2)任意の$x>\alpha$に対して，$f(x) \geqq g(x)$を満たす$a$の値の範囲を求めよ．
(3)任意の$x_1>\alpha$および任意の$x_2>\alpha$に対して，$f(x_1) \geqq g(x_2)$を満たす$a$の値の範囲を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$x^2+4x-5=0$の解は$[$1$]$である．また，不等式$x^2+4x-5>0$の解は$[$2$]$である．
(2)整式$f(x)$を$(x-3)(x+2)$で割った余りは$4x-3$である．このとき，$f(x)$を$x+2$で割った余りは$[$3$]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2 \cos^2 \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta$の最大値は$[$4$]$，最小値は$[$5$]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}(5,\ -1)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}$を頂点とする三角形の重心の座標が$\displaystyle \left( \frac{7}{3},\ -\frac{5}{3} \right)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標は$[$6$]$である．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に平行な直線の方程式は$[$7$]$であり，$\cos B$の値は$[$8$]$である．
(5)白の碁石が$5$個，黒の碁石が$5$個，合わせて$10$個の碁石から$8$個の碁石を選んで一列に並べるとき，並べ方は$[$9$]$通りある．このうち，同じ色の碁石が連続して$5$個並ぶ並べ方は$[$10$]$通りあり，また白の碁石が連続して$4$個以上並ぶ並べ方は$[$11$]$通りある．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$1$次不等式$\displaystyle \frac{7+4x}{3} \geqq \frac{x+1}{2}-x$の解は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$の分母を有理化すると$[$2$]$となる．
(3)$A,\ B,\ C$を定数とする．$\displaystyle \frac{x^2+2x+17}{x^3-x^2-5x-3}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}$が$x$についての恒等式であるとき，$A=[$3$]$，$B=[$4$]$，$C=[$5$]$である．
(4)実数$a$に対して，$a$以下の整数で最大のものを$[a]$で表す．このとき，$[\log_2 7]=[$6$]$，$\displaystyle [\log_3 \frac{1}{25}]=[$7$]$である．
(5)大小$2$個のさいころを同時に投げる．このとき，目の和が$9$以下になる確率は$[$8$]$であり，目の積が$9$以下になる確率は$[$9$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とし，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとする．このとき，線分$\mathrm{AH}$の長さは$[$10$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$11$]$である．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$が，すべての$x$に対して$f^{\prime\prime}(x) \leqq 0$を満たすとする．このとき，

$(*)$ \quad $x_1<x_2<x_3$に対して $\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \geqq \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$
が成立することを示せ．
(2)関数$f(x)$が$(*)$を満たすとする．このとき，$a<b$を満たす実数$a,\ b$と$0<t<1$を満たす$t$に対して，
\[ f((1-t)a+tb) \geqq (1-t)f(a)+tf(b) \]
が成立することを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$|y|<|x|$の表す領域を図示せよ．
(2)不等式$|y|<|x|$の表す領域が不等式$(x-a)^2+(y-b)^2 \leqq 1$の表す領域を含むための点$(a,\ b)$の条件を求め，その条件を満たす点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．