次の問いに答えなさい．

(1)平面上で，互いに平行な$5$本の直線とこれらに直交する$6$本の直線について，互いに隣り合う平行線どうしの間の距離がすべて等しく，その距離を$d (d>0)$とするとき，これらの平行線を使ってできるすべての長方形の個数を求めなさい．また，これら長方形のうち，正方形でない長方形の個数を求めなさい．
(2)$\log_{10}2<0.31$が成り立つことを示しなさい．

空間内の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$はともに長さが$1$で，角度$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$をなす．また点$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$を含む平面$\mathrm{H}$上に存在せず，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_2$を満たす（ただし$c_1,\ c_2$はいずれも$0$でない実数であるとする）．さらにベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=c_1 \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+c_2 \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$のように表され，かつベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と垂直である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．

$p$を$0 \leqq p \leqq 1$をみたす実数とする．$1$個の白玉と$3$個の赤玉が入っている袋があり，この袋から$1$個の玉を取り出して，取り出した玉に新たに白か赤の玉を$1$個加えて袋に戻す試行を行う．ただし，この試行の際に加えられる新たな玉の色は
\begin{itemize}
確率$p$で取り出した玉と同じ色
確率$1-p$で取り出した玉と異なる色
\end{itemize}
とする．

例えば，$p=1$の場合，第$1$回目の試行において赤玉が取り出されると，取り出した赤玉に加えてもう一つ赤玉を袋に戻す．そして第$1$回目の試行が終わったときには，袋の中に$1$個の白玉と$4$個の赤玉が入っている．
第$n$回目の試行で白玉が取り出される確率を$q_n$とする．

(1)第$n$回目の試行で新たに加えられた玉が白玉であり，かつこの白玉が$n+1$回目の試行で取り出される確率を$n,\ p,\ q_n$を用いて表せ．
(2)$q_{n+1}$を$n,\ p,\ q_n$を用いて表せ．ただし$n+1$回目の試行において，$n$回目に入れた玉を取り出さないという条件の下で，$n+1$回目に白玉を取り出す条件つき確率が$q_n$と等しいことを用いてよい．
(3)$\displaystyle r_n=q_n-\frac{1}{2}$とおくとき，$r_{n+1}$を$n,\ p,\ r_n$を用いて表せ．
(4)$p=0$，$\displaystyle p=\frac{1}{2}$，$p=1$のときの$q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．

\mon[$①$] $\displaystyle \int t \sin t \, dt$
\mon[$②$] $\displaystyle \int t^2 \cos t \, dt$

座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とし半径$1$の円$C$上の$x \geqq 0$の範囲にある点$\mathrm{P}(x_p,\ y_p)$に対して，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の部分とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．また，$\mathrm{P}$における$C$の接線上に点$\mathrm{Q}(x_q,\ y_q)$を次の条件をみたすようにとる．
\begin{itemize}
$y_q \leqq y_p$
線分$\mathrm{PQ}$の長さは，$C$上の弧$\mathrm{OP}$（ただし弧全体が$x \geqq 0$に存在する方）の長さに等しい
$\mathrm{P}$の座標が$(0,\ 2)$のときは$x_q=\pi$となるように$\mathrm{Q}$をとる
$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$と一致する場合は$\mathrm{Q}$も$\mathrm{O}$とし，$\theta=0$とする
\end{itemize}
(2)$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$y_q$の最大値と最小値を求めよ．
(5)$\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の描く曲線と$y$軸および直線$y=2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$a+b+c=1$，$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$が，ともに成り立つとき，$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(2)$\displaystyle a^2+b^2+c^2 \geqq \frac{1}{3}(a+b+c)^2$を証明しなさい．

座標空間の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1,\ -1)$を頂点とする四面体がある．辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が，
\[ \mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{CQ}:\mathrm{QA}=t:(1-t),\quad 0 \leqq t \leqq 1 \]
をみたすとき，以下の空欄をうめよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[イ] \]
である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は，$t=[ロ]$のとき，最大値$[ハ]$をとる．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のとき，$t=[ニ]$である．

$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)白玉$4$個，赤玉$3$個が入っている袋から，$2$個の玉を同時に取り出すとき，白玉と赤玉が$1$個ずつ出る確率を求めよ．
(2)白玉$4$個，赤玉$n$個が入っている袋から，$2$個の玉を同時に取り出すとき，白玉と赤玉が$1$個ずつ出る確率$p_n$を求めよ．
(3)$p_n>p_{n+1}$をみたす$n$の範囲を求めよ．
(4)$p_n$が最大となる$n$をすべて求めよ．

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^1 \log (2x+1) \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx=[ロ]$

(iii) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin 2x| \, dx=[ハ]$

(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \right)=[ニ] \]
(3)方程式$\displaystyle \log_2 (x-10)=3+\log_2 \frac{3}{x}$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x<2\pi$において，$-\sin x+\sqrt{3} \cos x$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)以下の文章に「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち最も適するものを入れよ．ただし，$n$は自然数とする．

(i) $n$が$6$の倍数であることは，$n$が$3$の倍数であるための$[チ]$．
(ii) $n$が奇数であることは，$n^2$が奇数であるための$[リ]$．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{4}{3}x^3+2x^2+2x+1$と関数$\displaystyle g(x)=\frac{2}{3}x^4+\frac{4}{3}x^3+2x^2+2x+1$がある．方程式$f(x)=0$の実数解を$\alpha$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$-1<\alpha<0$であることを示せ．
(2)$g(x)$の最小値を$\alpha$を用いて多項式で表せ．

$k>0$とする．関数$f(x)=x^3-10x^2+kx$がある．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$が$x$軸と接するとき，以下の問いに答えよ．

(1)$k$の値を求めよ．
(2)$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ．