実数全体を定義域とする関数$f(x)$は奇関数で微分可能であるとする．さらに，$f^\prime(x)$も微分可能で$f^\prime(0)=0$を満たし，$x>0$の範囲で$f^{\prime\prime}(x)>0$であるとする．$y=f(x)$のグラフを$C_1$，$C_1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$f(a)$だけ平行移動した曲線を$C_2$とする．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$f(0)$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$は偶関数であることを示せ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点の個数が$2$個であることを示し，その$2$点の$x$座標を求めよ．
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする．$a$が$0<a \leqq 3$の範囲を動くとき，$S(a)$を最大にする$a$の値を求めよ．

（新課程履修者）$a>0$とする．複素平面上で等式
\[ |z-ia|=\frac{z-\overline{z}}{2i} \]
を満たす点$z$全体の表す図形を$C$とする．ただし，$i$は虚数単位で，$\overline{z}$は$z$と共役な複素数を表す．

(1)$z=x+iy$と表すとき，$C$の方程式を$y=f(x)$の形で表せ．
(2)$C$上の点$z$で
\[ |z-(2+2i)|=|z+(2+2i)| \]
を満たすものを求めよ．

次の条件を満たすような実数$a$の範囲を求めよ．

（条件）：どんな実数$x$に対しても
\[ x^2-3x+2>0 \quad \text{または} \quad x^2+ax+1>0 \]
が成立する．

放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$に対して，$\mathrm{P}$における$C$の接線を$L$とする．$t$が$0<t \leqq 1$の範囲を動くとき，$L$と直線$x=1$と$x$軸とで囲まれる三角形の面積の最大値と，最大値を与える$t$の値を求めよ．

$x$の関数$y=-3x^2+4ax-a$の最大値を$M$とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$a$は定数であり，$x$は$0 \leqq x \leqq 3$の範囲の変数である．

(1)$a=3$のとき，$M$の値を求めなさい．
(2)$0<a<3$のとき，$M$を$a$を用いて表しなさい．

$0^\circ \leqq \theta \leqq {45}^\circ$で$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{2}{5}$のとき，次の式の値をそれぞれ求めなさい．

(1)${(\sin \theta+\cos \theta)}^2$
(2)$\sin \theta+\cos \theta$
(3)${(\sin \theta-\cos \theta)}^2$
(4)$\sin \theta-\cos \theta$
(5)$\sin \theta$

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$x^2-2x-7<0$をみたす実数$x$の範囲は$[ア]$である．また，実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$とすると，${[x]}^2-2[x]-7<0$をみたす実数$x$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=1,\quad a_2=\frac{4}{3},\quad 3a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，数列$\{a_{n+1}-pa_n\}$が公比$q$の等比数列になるような定数$p,\ q$の組は$(p,\ q)=[ウ]$であり，一般項$a_n$は$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta}=\sqrt{3}-2$となるのは$\tan \theta=[オ]$のときであり，これをみたす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$の値は$\theta=[カ]$である．
(4)$a$を実数とし，$\displaystyle f(a)=\int_{-1}^2 {(x-a |x|)}^2 \, dx$とする．$f(a)$は$a=[キ]$のとき，最小値$[ク]$をとる．
(5)$\tan x=t$とおくとき，$\sin 2x$を$t$で表すと$\sin 2x=[ケ]$である．また，$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin 2x} \, dx=[コ]$である．

\mon[（注）] 次の$(6),\ (7)$は選択問題である．

(6)大小$2$つのさいころを投げて，大きいさいころの出た目を$a$，小さいさいころの出た目を$b$とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が$2$つの異なる実数解をもつ確率は$[サ]$，重解をもつ確率は$[シ]$，実数解をもたない確率は$[ス]$である．
(7)平面上で，半径$3$の円$C_1$と半径$5$の円$C_2$が点$\mathrm{P}$で外接している．$1$本の直線が$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$で円$C_1,\ C_2$とそれぞれ接しているとき，$\mathrm{QR}=[セ]$である．また，直線$\mathrm{QP}$と円$C_2$との，$\mathrm{P}$と異なる交点を$\mathrm{S}$とするとき，$\mathrm{SR}=[ソ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面において，関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x^2} (x>0)$の増減を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}=0$を用いてよい．
(2)$a$を定数とする．$xy$平面において，$2$つの曲線$y=ax^2$と$y=\log x$の共有点の個数を調べよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$a$を実数の定数とし，$x$の関数$f(x)=ax^2+4ax+a^2-1$を考える．区間$-4 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最大値が$5$であるとき，定数$a$の値を求めなさい．
(2)$f(x)$および$g(x)$は$x=a$で微分可能な関数とする．このとき，極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h} \]
を$f(a)$，$g(a)$および微分係数$f^\prime(a)$，$g^\prime(a)$を用いて表しなさい．

円$x^2+(y-1)^2=1$とその内部を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を考える．

(1)$t$を$-1 \leqq t \leqq 1$を満たす定数とする．この立体を$x$軸に垂直で$(t,\ 0)$を通る平面で切った断面の面積を$t$で表しなさい．
(2)この立体の体積を求めなさい．