「不等号」について
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私立 東京理科大学 2015年 第1問次の文章中の$[ア]$から$[ヨ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めよ．
(1)実数$a$に対し，$2$つの$2$次関数
$f(x)=x^2-2a^2x-a^4-2a^2-8$
$g(x)=-x^2+2(a^2-4)x-3a^4-2a^3-16$
を考える．
(i) すべての実数$x$に対して$g(x)<f(x)$が成り立つための必要十分条件は
\[ a>-[ア] \quad \text{かつ} \quad a \neq [イ] \]
である．
(ii) $g(x)$の最大値は$-[ウ]a^4-[エ]a^3-[オ]a^2$である．
(iii) 次の条件$(*)$を満たす実数$b$がただ$1$つ存在するとする．
$(*)$ \quad 「すべての実数$x$に対して \ $g(x) \leqq b \leqq f(x)$ \ が成り立つ．」
このとき，
\[ a=-[カ] \quad \text{または} \quad a=[キ] \]
であり，$a=-[カ]$のときは$b=-[ク][ケ]$，$a=[キ]$のときは$b=-[コ][サ]$である．
(2)次の条件で定められる数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad b_1=-2,\quad \left\{ \begin{array}{lcl}
a_{n+1} &=& 8a_n+b_n \\
b_{n+1} &=& -25a_n-2b_n
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき
\[ [シ]a_{n+1}+b_{n+1}=[ス]([シ]a_n+b_n) \]
であるので，
\[ b_n={[セ]}^n-[ソ]a_n \]
である．これにより
\[ \frac{a_{n+1}}{{[タ]}^n}=\frac{a_n}{{[タ]}^{n-1}}+1 \]
となる．したがって
\[ a_n=n \cdot {[チ]}^{n-\mkakko{ツ}} \]
となる．
(3)平面上に，$\triangle \mathrm{ABC}$とその内部の点$\mathrm{O}$をとったとき，
$\mathrm{OA}=1+\sqrt{3}$
$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$
$\mathrm{OC}=\sqrt{2}$
$\sqrt{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$
となっていた．
このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{-[テ]-\sqrt{[ト]}}{[ナ]}$であるので
\[ \angle \mathrm{AOB}={[ニ][ヌ][ネ]}^\circ \]
である．同様に$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-[ノ]-\sqrt{[ハ]}$から
\[ \angle \mathrm{AOC}={[ヒ][フ][ヘ]}^\circ \]
である．したがって，
\[ \angle \mathrm{BOC}={[ホ][マ][ミ]}^\circ \]
となる．また，
\[ \sin {[ホ][マ][ミ]}^\circ=\frac{\sqrt{[ム]} \left( [メ]+\sqrt{[モ]} \right)}{4} \]
である．したがって，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle [ヤ]+\frac{[ユ] \sqrt{[ヨ]}}{2}$である．
(1)実数$a$に対し，$2$つの$2$次関数
$f(x)=x^2-2a^2x-a^4-2a^2-8$
$g(x)=-x^2+2(a^2-4)x-3a^4-2a^3-16$
を考える．
(i) すべての実数$x$に対して$g(x)<f(x)$が成り立つための必要十分条件は
\[ a>-[ア] \quad \text{かつ} \quad a \neq [イ] \]
である．
(ii) $g(x)$の最大値は$-[ウ]a^4-[エ]a^3-[オ]a^2$である．
(iii) 次の条件$(*)$を満たす実数$b$がただ$1$つ存在するとする．
$(*)$ \quad 「すべての実数$x$に対して \ $g(x) \leqq b \leqq f(x)$ \ が成り立つ．」
このとき，
\[ a=-[カ] \quad \text{または} \quad a=[キ] \]
であり，$a=-[カ]$のときは$b=-[ク][ケ]$，$a=[キ]$のときは$b=-[コ][サ]$である．
(2)次の条件で定められる数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad b_1=-2,\quad \left\{ \begin{array}{lcl}
a_{n+1} &=& 8a_n+b_n \\
b_{n+1} &=& -25a_n-2b_n
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき
\[ [シ]a_{n+1}+b_{n+1}=[ス]([シ]a_n+b_n) \]
であるので，
\[ b_n={[セ]}^n-[ソ]a_n \]
である．これにより
\[ \frac{a_{n+1}}{{[タ]}^n}=\frac{a_n}{{[タ]}^{n-1}}+1 \]
となる．したがって
\[ a_n=n \cdot {[チ]}^{n-\mkakko{ツ}} \]
となる．
(3)平面上に，$\triangle \mathrm{ABC}$とその内部の点$\mathrm{O}$をとったとき，
$\mathrm{OA}=1+\sqrt{3}$
$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$
$\mathrm{OC}=\sqrt{2}$
$\sqrt{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$
となっていた．
このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{-[テ]-\sqrt{[ト]}}{[ナ]}$であるので
\[ \angle \mathrm{AOB}={[ニ][ヌ][ネ]}^\circ \]
である．同様に$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-[ノ]-\sqrt{[ハ]}$から
\[ \angle \mathrm{AOC}={[ヒ][フ][ヘ]}^\circ \]
である．したがって，
\[ \angle \mathrm{BOC}={[ホ][マ][ミ]}^\circ \]
となる．また，
\[ \sin {[ホ][マ][ミ]}^\circ=\frac{\sqrt{[ム]} \left( [メ]+\sqrt{[モ]} \right)}{4} \]
である．したがって，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle [ヤ]+\frac{[ユ] \sqrt{[ヨ]}}{2}$である．
私立 早稲田大学 2015年 第2問$2$つの直線$y=kx$と$\displaystyle y=-\frac{1}{k}x$に同時に接する円$\mathrm{O}$の中心の座標を$(a,\ b)$とおく．ただし，$k$は定数で，$0<k<1$とし，$a>0$，$b>0$とする．次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{b}{a}$を$k$を用いて表せ．
(2)円$\mathrm{O}$の半径$r$を$a$および$k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle k=\frac{1}{3}$とする．円$\mathrm{O}$が点$(p,\ p)$を通るとき，中心の座標$(a,\ b)$を$p$を用いて表せ．ただし，$p$は定数で，$p>0$とする．
(1)$\displaystyle \frac{b}{a}$を$k$を用いて表せ．
(2)円$\mathrm{O}$の半径$r$を$a$および$k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle k=\frac{1}{3}$とする．円$\mathrm{O}$が点$(p,\ p)$を通るとき，中心の座標$(a,\ b)$を$p$を用いて表せ．ただし，$p$は定数で，$p>0$とする．
私立 早稲田大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の関係を満たしている．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{(k+1)(k+2)}{3^{k-1}}a_k=-\frac{1}{4}(2n+1)(2n+3) \]
$a_n$を$n$を用いて表せ．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 次の和$S$を求めよ．
\[ S=\sum_{k=1}^n \frac{1}{(k+1)(k+2)} \]
(ii) $(1)$の$a_n$に対して，$n \geqq 2$のとき，和$\displaystyle Q=\sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(1)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の関係を満たしている．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{(k+1)(k+2)}{3^{k-1}}a_k=-\frac{1}{4}(2n+1)(2n+3) \]
$a_n$を$n$を用いて表せ．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) 次の和$S$を求めよ．
\[ S=\sum_{k=1}^n \frac{1}{(k+1)(k+2)} \]
(ii) $(1)$の$a_n$に対して，$n \geqq 2$のとき，和$\displaystyle Q=\sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第1問$[ ]$内に$0$から$9$までの数字を$1$つずつ入れよ．
(1)$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\tan 2x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{4} \right) \text{および} g(x)=a \cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
に対して，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\theta$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=\theta$で囲まれた部分の面積$S$を考える．
(i) $a=[ア]$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$である．このとき$\displaystyle S=\frac{[イ]}{[ウ]} \times \log [エ]$である．
(ii) $a=\sqrt{[オ]}$のとき，$\displaystyle S=\frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{7}+1}{2}$である．
ただし，正の数$A$に対して，$\log A$は$A$の自然対数を表す．
(2)$1$個のサイコロを投げ，その出た目によって，点$\mathrm{P}$を座標平面上で移動させる試行を繰り返す．
点$\mathrm{P}$の出発点$(x_0,\ y_0)$を原点$(0,\ 0)$とし，$1$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,\ y_1)$，$2$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_2,\ y_2)$，以下同様に$k$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_k,\ y_k)$とする．
座標$(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次のルールによって定める．
サイコロを$k$回目に投げたとき，出た目を$3$で割った商を$q$，余りを$r$として，$x_k$を次のように$q$によって定め，
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
q=0 & \text{のとき}x_k=x_{k-1} \\
q=1 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}+1 \\
q=2 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
$y_k$を次のように$r$によって定める．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
r=0 & \text{のとき}y_k=y_{k-1} \\
r=1 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}+1 \\
r=2 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
ただし，サイコロを投げたとき，$1$から$6$の目がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で出るものとする．
(i) $(x_2,\ y_2)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$(x_3,\ y_3)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(ii) $x_k+y_k$が偶数である確率を$p_k$とすると，$\displaystyle p_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，
\[ p_k=\frac{[ク]}{[ケ]} \cdot \left( -\frac{[コ]}{[サ]} \right)^k+\frac{[シ]}{[ス]} \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{P}$（$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$），辺$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$（$\mathrm{OQ}:\mathrm{QC}=1:2$），辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(i) $\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．
(ii) 三角形$\mathrm{MPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キク]} \times \sqrt{[ケコ]}$である．
(iii) 辺$\mathrm{BC}$上の$\displaystyle \mathrm{BR}=\frac{[サ]}{[シ]}$となる点$\mathrm{R}$は，$3$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で定まる平面上にある．
(1)$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=\tan 2x \ \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{4} \right) \text{および} g(x)=a \cos x\ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
に対して，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\theta$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=\theta$で囲まれた部分の面積$S$を考える．
(i) $a=[ア]$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$である．このとき$\displaystyle S=\frac{[イ]}{[ウ]} \times \log [エ]$である．
(ii) $a=\sqrt{[オ]}$のとき，$\displaystyle S=\frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{7}+1}{2}$である．
ただし，正の数$A$に対して，$\log A$は$A$の自然対数を表す．
(2)$1$個のサイコロを投げ，その出た目によって，点$\mathrm{P}$を座標平面上で移動させる試行を繰り返す．
点$\mathrm{P}$の出発点$(x_0,\ y_0)$を原点$(0,\ 0)$とし，$1$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_1,\ y_1)$，$2$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_2,\ y_2)$，以下同様に$k$回目の試行（移動）後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_k,\ y_k)$とする．
座標$(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次のルールによって定める．
サイコロを$k$回目に投げたとき，出た目を$3$で割った商を$q$，余りを$r$として，$x_k$を次のように$q$によって定め，
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
q=0 & \text{のとき}x_k=x_{k-1} \\
q=1 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}+1 \\
q=2 & \text{のとき}x_k=x_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
$y_k$を次のように$r$によって定める．
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
r=0 & \text{のとき}y_k=y_{k-1} \\
r=1 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}+1 \\
r=2 & \text{のとき}y_k=y_{k-1}-1
\end{array} \right. \]
ただし，サイコロを投げたとき，$1$から$6$の目がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{6}$で出るものとする．
(i) $(x_2,\ y_2)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$であり，$(x_3,\ y_3)=(0,\ 0)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(ii) $x_k+y_k$が偶数である確率を$p_k$とすると，$\displaystyle p_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，
\[ p_k=\frac{[ク]}{[ケ]} \cdot \left( -\frac{[コ]}{[サ]} \right)^k+\frac{[シ]}{[ス]} \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{P}$（$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1$），辺$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{Q}$（$\mathrm{OQ}:\mathrm{QC}=1:2$），辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(i) $\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$である．
(ii) 三角形$\mathrm{MPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キク]} \times \sqrt{[ケコ]}$である．
(iii) 辺$\mathrm{BC}$上の$\displaystyle \mathrm{BR}=\frac{[サ]}{[シ]}$となる点$\mathrm{R}$は，$3$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で定まる平面上にある．
私立 東京理科大学 2015年 第2問$a>0$を定数とし，座標平面上の点$\mathrm{P}(p,\ 0)$から放物線$C:y=ax^2+2a$に$2$本の接線$\mathrm{PQ}_1$，$\mathrm{PQ}_2$を引く．ここで$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$は接点で，$\mathrm{Q}_1$の$x$座標$q_1$は$\mathrm{Q}_2$の$x$座標$q_2$より小さいとする．
(1)$q_1$と$q_2$を，$p$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$の方程式を，$a$と$p$を用いて表せ．
(3)$S_1$を直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$と曲線$C$で囲まれた部分の面積，$S_2$を曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}_1$，$\mathrm{PQ}_2$で囲まれた部分の面積とする．$S_1$と$S_2$を，$a$と$p$を用いて表し，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{PQ}_1 \perp \mathrm{PQ}_2$となるとき，$a$の値を求めよ．
(1)$q_1$と$q_2$を，$p$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$の方程式を，$a$と$p$を用いて表せ．
(3)$S_1$を直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$と曲線$C$で囲まれた部分の面積，$S_2$を曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}_1$，$\mathrm{PQ}_2$で囲まれた部分の面積とする．$S_1$と$S_2$を，$a$と$p$を用いて表し，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{PQ}_1 \perp \mathrm{PQ}_2$となるとき，$a$の値を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第1問次の$[ ]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．
(1)座標平面上の円$C:(x-2)^2+(y-1)^2=5$に対して以下が成り立つ．
(i) $C$上の点で，その点における$C$の接線の傾きが$-2$となる点は$([ア],\ [イ])$と$([ウ],\ [エ])$である．（ただし，$[ア]<[ウ]$とする．）
(ii) 点$(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$2x+y$の値は
$(x,\ y)=([オ],\ [カ])$のとき最大値$[キ][ク]$をとり，
$(x,\ y)=([ケ],\ [コ])$のとき最小値$[サ]$をとる．
(2)座標平面上で点$(x,\ y)$が$x^2-4 |x|+y^2-2 |y|=0$を満たしながら動くとき，$x^2+y^2$の値は$(x,\ y)=(0,\ 0)$のとき$0$になるが，それ以外の場合のとり得る値の範囲は
\[ [シ] \leqq x^2+y^2 \leqq [ス][セ] \]
である．
(3)座標平面上で$x^2-4 |x|+y^2-2 |y| \leqq 0$を満たす点$(x,\ y)$全体のなす領域を$S$とする．
(i) 点$(x,\ y)$が$S$上を動くとき，$x^2+y^2$のとり得る値の範囲は
\[ [ソ] \leqq x^2+y^2 \leqq [タ][チ] \]
である．
(ii) $S$の面積は$[ツ][テ]\pi+[ト][ナ]$である．
(1)座標平面上の円$C:(x-2)^2+(y-1)^2=5$に対して以下が成り立つ．
(i) $C$上の点で，その点における$C$の接線の傾きが$-2$となる点は$([ア],\ [イ])$と$([ウ],\ [エ])$である．（ただし，$[ア]<[ウ]$とする．）
(ii) 点$(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$2x+y$の値は
$(x,\ y)=([オ],\ [カ])$のとき最大値$[キ][ク]$をとり，
$(x,\ y)=([ケ],\ [コ])$のとき最小値$[サ]$をとる．
(2)座標平面上で点$(x,\ y)$が$x^2-4 |x|+y^2-2 |y|=0$を満たしながら動くとき，$x^2+y^2$の値は$(x,\ y)=(0,\ 0)$のとき$0$になるが，それ以外の場合のとり得る値の範囲は
\[ [シ] \leqq x^2+y^2 \leqq [ス][セ] \]
である．
(3)座標平面上で$x^2-4 |x|+y^2-2 |y| \leqq 0$を満たす点$(x,\ y)$全体のなす領域を$S$とする．
(i) 点$(x,\ y)$が$S$上を動くとき，$x^2+y^2$のとり得る値の範囲は
\[ [ソ] \leqq x^2+y^2 \leqq [タ][チ] \]
である．
(ii) $S$の面積は$[ツ][テ]\pi+[ト][ナ]$である．
私立 東京理科大学 2015年 第1問次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．
(1)座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1)$がある．
(i) 楕円
\[ E:\quad \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (b>0) \]
は$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を焦点としてもつとする．このとき，$b=\sqrt{[ア]}$である．
(ii) $2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る直線と，$(ⅰ)$で定めた楕円$E$の交点を$\mathrm{P}(x_0,\ y_0) (x_0>0)$とすると，
\[ x_0=-\frac{[イ]}{[ウ]}+\frac{[エ]}{[オ]} \sqrt{[カ]},\quad y_0=\frac{[キ]}{[ク]}+\frac{[ケ]}{[コ]} \sqrt{[サ]} \]
である．
(iii) $(ⅱ)$で定めた点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{PB}+\mathrm{PC}=[シ]-\sqrt{[ス]}$である．$\mathrm{QB}+\mathrm{QC}=[シ]-\sqrt{[ス]}$となるような点$\mathrm{Q}(x,\ y)$の軌跡の方程式は
\[ \frac{(x-y)^2}{\alpha}+\frac{(x+y-\gamma)^2}{\beta}=1 \]
である．このとき，
\[ \alpha=\mkakko{セ}-\mkakko{ソ} \sqrt{\mkakko{タ}},\quad \beta=\mkakko{チ}-\mkakko{ツ} \sqrt{\mkakko{テ}},\quad \gamma=\mkakko{ト} \]
となる．
(2)座標平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(2,\ 2)$，点$\mathrm{B}(k,\ 0)$を通り，軸が$y$軸に平行な放物線を$C$とする．ただし，$k>2$とする．
(i) 放物線$C$の方程式を$k$を用いて表すと，
\[ y=-\frac{[ナ]}{k-[ニ]}x^2+\frac{k}{k-[ヌ]}x \]
である．
(ii) 放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を$k$を用いて表すと，
\[ S=\frac{k^{\mkakko{ネ}}}{[ノ](k-[ハ])^{\mkakko{ヒ}}} \]
である．また，$k$を$k>2$の範囲で動かすとき，$S$の最小値は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$であり，そのときの$k$の値は$k=[ホ]$である．
(iii) 放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分を放物線$C$の軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$k$を用いて表すと，
\[ V=\frac{k^{\mkakko{マ}}}{[ミ][ム](k-[メ])^{\mkakko{モ}}} \pi \]
である．また，$k$を$k>2$の範囲で動かすとき，$V$の最小値は$\displaystyle \frac{[ヤ][ユ]}{[ヨ][ラ]}\pi$であり，そのときの$k$の値は$\displaystyle k=\frac{[リ]}{[ル]}$である．
(1)座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1)$がある．
(i) 楕円
\[ E:\quad \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (b>0) \]
は$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を焦点としてもつとする．このとき，$b=\sqrt{[ア]}$である．
(ii) $2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る直線と，$(ⅰ)$で定めた楕円$E$の交点を$\mathrm{P}(x_0,\ y_0) (x_0>0)$とすると，
\[ x_0=-\frac{[イ]}{[ウ]}+\frac{[エ]}{[オ]} \sqrt{[カ]},\quad y_0=\frac{[キ]}{[ク]}+\frac{[ケ]}{[コ]} \sqrt{[サ]} \]
である．
(iii) $(ⅱ)$で定めた点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{PB}+\mathrm{PC}=[シ]-\sqrt{[ス]}$である．$\mathrm{QB}+\mathrm{QC}=[シ]-\sqrt{[ス]}$となるような点$\mathrm{Q}(x,\ y)$の軌跡の方程式は
\[ \frac{(x-y)^2}{\alpha}+\frac{(x+y-\gamma)^2}{\beta}=1 \]
である．このとき，
\[ \alpha=\mkakko{セ}-\mkakko{ソ} \sqrt{\mkakko{タ}},\quad \beta=\mkakko{チ}-\mkakko{ツ} \sqrt{\mkakko{テ}},\quad \gamma=\mkakko{ト} \]
となる．
(2)座標平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(2,\ 2)$，点$\mathrm{B}(k,\ 0)$を通り，軸が$y$軸に平行な放物線を$C$とする．ただし，$k>2$とする．
(i) 放物線$C$の方程式を$k$を用いて表すと，
\[ y=-\frac{[ナ]}{k-[ニ]}x^2+\frac{k}{k-[ヌ]}x \]
である．
(ii) 放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を$k$を用いて表すと，
\[ S=\frac{k^{\mkakko{ネ}}}{[ノ](k-[ハ])^{\mkakko{ヒ}}} \]
である．また，$k$を$k>2$の範囲で動かすとき，$S$の最小値は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$であり，そのときの$k$の値は$k=[ホ]$である．
(iii) 放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分を放物線$C$の軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$k$を用いて表すと，
\[ V=\frac{k^{\mkakko{マ}}}{[ミ][ム](k-[メ])^{\mkakko{モ}}} \pi \]
である．また，$k$を$k>2$の範囲で動かすとき，$V$の最小値は$\displaystyle \frac{[ヤ][ユ]}{[ヨ][ラ]}\pi$であり，そのときの$k$の値は$\displaystyle k=\frac{[リ]}{[ル]}$である．
私立 東京理科大学 2015年 第2問各辺の長さが整数であるような三角形を考え，その$3$辺の長さを$x,\ y,\ z (x \leqq y \leqq z)$とする．また，$n$を自然数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$z=n$であるような三角形の個数を$a_n$とするとき，$a_5$および$a_6$を求めよ．
(2)$(1)$の$a_n$を$n$の式で表せ．
(3)$z \leqq n$であるような三角形の個数を$b_n$とする．
(i) $b_n$を$n$の式で表せ．
(ii) $b_n>2015$となるような最小の自然数$n$を求めよ．
(4)$z=n$であるような三角形で二等辺三角形でないものの個数を$c_n$とするとき，$c_n$を$n$の式で表せ．
(1)$z=n$であるような三角形の個数を$a_n$とするとき，$a_5$および$a_6$を求めよ．
(2)$(1)$の$a_n$を$n$の式で表せ．
(3)$z \leqq n$であるような三角形の個数を$b_n$とする．
(i) $b_n$を$n$の式で表せ．
(ii) $b_n>2015$となるような最小の自然数$n$を求めよ．
(4)$z=n$であるような三角形で二等辺三角形でないものの個数を$c_n$とするとき，$c_n$を$n$の式で表せ．
私立 東京理科大学 2015年 第3問不等式$\displaystyle \frac{x}{x-1} \geqq 0$を満たす実数$x$の範囲を定義域とする関数
\[ f(x)=3x \sqrt{\frac{x}{x-1}} \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$\displaystyle a_1=\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$，$\displaystyle a_2=\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$とする．$a_1$，$a_2$の値を求めよ．
(3)$(2)$の$a_1,\ a_2$に対して，$\displaystyle b_1=\lim_{x \to \infty}(f(x)-a_1x)$，$\displaystyle b_2=\lim_{x \to -\infty}(f(x)-a_2x)$とする．$b_1$，$b_2$の値を求めよ．
(4)関数$f(x)$の極小値を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$の漸近線の方程式を求めよ．
(6)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
\[ f(x)=3x \sqrt{\frac{x}{x-1}} \]
について，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$\displaystyle a_1=\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$，$\displaystyle a_2=\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$とする．$a_1$，$a_2$の値を求めよ．
(3)$(2)$の$a_1,\ a_2$に対して，$\displaystyle b_1=\lim_{x \to \infty}(f(x)-a_1x)$，$\displaystyle b_2=\lim_{x \to -\infty}(f(x)-a_2x)$とする．$b_1$，$b_2$の値を求めよ．
(4)関数$f(x)$の極小値を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$の漸近線の方程式を求めよ．
(6)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第5問$n$を自然数とする．$k=1,\ 2,\ 3$に対して，次の条件$\mathrm{P}_k$を考える．
$\mathrm{P}_k: \quad k \leqq r \leqq n-k$を満たすすべての自然数$r$に対して，$\comb{n}{r}$は偶数である．
(1)$2 \leqq n \leqq 20$，$k=1$とする．$\mathrm{P}_1$を満たす$n$は全部で$[ア]$個ある．このうち，最大のものは$[イ][ウ]$である．
(2)$4 \leqq n \leqq 1000$，$k=2$とする．$\mathrm{P}_2$を満たす$n$は全部で$[エ][オ]$個ある．このうち，最大のものは$[カ][キ][ク]$である．
(3)$6 \leqq n \leqq {10}^{16}$，$k=3$とする．$\mathrm{P}_3$を満たす$n$は全部で$[ケ][コ][サ]$個ある．
（注意：$0.3010<\log_{10}2<0.3011$）
$\mathrm{P}_k: \quad k \leqq r \leqq n-k$を満たすすべての自然数$r$に対して，$\comb{n}{r}$は偶数である．
(1)$2 \leqq n \leqq 20$，$k=1$とする．$\mathrm{P}_1$を満たす$n$は全部で$[ア]$個ある．このうち，最大のものは$[イ][ウ]$である．
(2)$4 \leqq n \leqq 1000$，$k=2$とする．$\mathrm{P}_2$を満たす$n$は全部で$[エ][オ]$個ある．このうち，最大のものは$[カ][キ][ク]$である．
(3)$6 \leqq n \leqq {10}^{16}$，$k=3$とする．$\mathrm{P}_3$を満たす$n$は全部で$[ケ][コ][サ]$個ある．
（注意：$0.3010<\log_{10}2<0.3011$）