$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$y=\cos 2\theta-8 \cos \theta+12$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\sqrt{3} \cos \left( 2x-\frac{1}{2} \pi \right)$，$\displaystyle g(x)=\sin \left( 2x-\frac{1}{2} \pi \right)$とする．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)+g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めなさい．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)g(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．

次の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$F=2 \sin \theta (\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta)$は
\[ \begin{array}{rcl}
F &=& [ア]-\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta \\
&=& [ア]-[イ] \sin \left( 2\theta+\frac{[ウ]}{[エ]} \pi \right)
\end{array} \]
と変形できる．ここで，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[ウ]}{[エ]} \pi <2\pi$とする．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき，最大値$[キ]$をとる．
(2)$a$を正の定数とし，$f(x)=2x^3-ax^2+27$とする．$f(x)$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ク]x^2-[ケ]ax \]
であり，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[コ]}{[サ]}a$のとき，極小値$\displaystyle 27-\frac{[シ]}{[スセ]} a^{[ソ]}$をとる．どのような正の数$x$に対しても不等式$2x^3+27>ax^2$が成り立つような$a$の値の範囲は$0<a<[タ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$，$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=[アイ]$，$pq=[ウ]$，$p^2+q^2=[エオカ]$である．

(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{r}
|2x-9| \leqq 5 \\
9-2x \leqq 4
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq x \leqq [ケ]$である．

(3)$(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$[コサシ]$である．
(4)${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき，
\[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{[ス]}{[セソ]} \]
である．
(5)$p,\ q$を定数とし，$q<0$とする．$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき，$\displaystyle p=\frac{[タ]}{[チ]}$，$q=[ツテ]$である．
(6)赤玉が$5$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(7)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて，それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする．このとき，積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ヌネ]$組あり，偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ノハヒ]$組ある．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{[フ]}{[ヘホ]} \triangle \mathrm{BCR}$である．

関数$f(x)=-2 \sin^2 x+\cos^2 x-6a \cos x$において，定数$a$が$0<a<1$を満たすとき，$f(x)$の最小値は$[ト]$となる．$\displaystyle a=\frac{1}{3}$のとき，$f(x)$の最小値は$[ナ]$であり，最大値は$[ニ]$である．

円$C_1$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$があり，$2$つの辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$となっている．$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とおく．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{AC}^2=m+n \cos \theta$と表すと$m=[ア]$，$n=[イ]$である．ただし$m,\ n$は整数とする．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の残りの辺の長さが$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{DA}=4$となっている．このとき$\cos \theta=[ウ]$，$\mathrm{AC}=[エ]$である．また円$C_1$の半径は$[オ]$，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[カ]$である．

関数$\displaystyle f(x)=2x-1+2 \cos^2 x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点における接線と曲線$y=f(x)$および$y$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \cos \theta=\frac{5}{6}$ならば$\tan \theta=[　]$である．また，$\tan \theta=2$ならば，$\cos 2\theta+\cos \theta=[　]$である．

次の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に向かい合う辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ c$で表し，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A,\ B,\ C$で表す．
$\displaystyle \cos A=\frac{24}{25}$，$\displaystyle \cos B=\frac{20}{29}$，$c=92$のとき，$\sin A=[ア]$であり，$\sin B=[イ]$である．したがって，$\sin C=[ウ]$，$\cos C=[エ]$となる．これより$a=[オ]$，$b=[カ]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)次の連立不等式を解きなさい．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+2x>1 \\
|x-1| \leqq 1
\end{array} \right. \]
(2)無限級数
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \sin \frac{n\pi}{2}=\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2}+\frac{1}{2^2} \sin \frac{2\pi}{2}+\frac{1}{2^3} \sin \frac{3\pi}{2}+\cdots \]
の和を求めなさい．
(3)関数$f(x)=e^x \cos x$の導関数$f^\prime(x)$を求めなさい．また，実数$\alpha,\ \beta$を使って，$f^\prime(x)=\alpha e^x \cos (x+\beta)$の形に表しなさい．ただし，$\alpha>0$，$0 \leqq \beta<2\pi$とする．