次の問いに答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．

\mon[$①$] $\displaystyle \int t \sin t \, dt$
\mon[$②$] $\displaystyle \int t^2 \cos t \, dt$

座標平面の原点を$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を中心とし半径$1$の円$C$上の$x \geqq 0$の範囲にある点$\mathrm{P}(x_p,\ y_p)$に対して，線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の部分とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．また，$\mathrm{P}$における$C$の接線上に点$\mathrm{Q}(x_q,\ y_q)$を次の条件をみたすようにとる．
\begin{itemize}
$y_q \leqq y_p$
線分$\mathrm{PQ}$の長さは，$C$上の弧$\mathrm{OP}$（ただし弧全体が$x \geqq 0$に存在する方）の長さに等しい
$\mathrm{P}$の座標が$(0,\ 2)$のときは$x_q=\pi$となるように$\mathrm{Q}$をとる
$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$と一致する場合は$\mathrm{Q}$も$\mathrm{O}$とし，$\theta=0$とする
\end{itemize}
(2)$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$y_q$の最大値と最小値を求めよ．
(5)$\mathrm{P}$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の描く曲線と$y$軸および直線$y=2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^1 \log (2x+1) \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx=[ロ]$

(iii) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin 2x| \, dx=[ハ]$

(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \right)=[ニ] \]
(3)方程式$\displaystyle \log_2 (x-10)=3+\log_2 \frac{3}{x}$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x<2\pi$において，$-\sin x+\sqrt{3} \cos x$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)以下の文章に「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち最も適するものを入れよ．ただし，$n$は自然数とする．

(i) $n$が$6$の倍数であることは，$n$が$3$の倍数であるための$[チ]$．
(ii) $n$が奇数であることは，$n^2$が奇数であるための$[リ]$．

放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$における$C$の接線$\ell_T$，さらに，点$\mathrm{A}$を通り，$\ell_T$に直交する直線（法線）$\ell_N$を考える．また，法線$\ell_N$に関して直線$x=a$と対称な直線を$\ell_R$とする．次の問に答えなさい．

(1)接線$\ell_T$と$x$軸のなす角を$\theta$とする．ただし，$a>0$の範囲では$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$a>0$のとき，$\displaystyle \tan \left( \frac{\pi}{2}+2\theta \right)$を$a$を用いて表しなさい．
(2)直線$\ell_R$は$a$の値によらず定点を通ることを示しなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$a$は実数で$0 \leqq a \leqq \pi$とする．
\[ 0 \leqq \theta \leqq \pi,\quad \sin \left( \frac{\pi}{4}a^2+\frac{\pi}{4} \right)+\cos \theta=0 \]
を満たす$\theta$を求めよ．
(2)連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq \pi,\quad 0 \leqq y \leqq \pi,\quad \sin \left( \frac{\pi}{4}x^2+\frac{\pi}{4} \right)+\cos y \geqq 0 \]
によって表される$xy$平面上の領域を図示せよ．

$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．面$\mathrm{ABC}$と面$\mathrm{DBC}$のなす角を$\theta$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\cos \theta$を求めなさい．
(2)正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V$を求めなさい．
(3)正四面体$\mathrm{ABCD}$に内接する球の半径$r$を求めなさい．

$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を考える．また，円$C$上で点$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{P}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$とおく．ただし，$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす．線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AP}$の垂直$2$等分線と円$C$の交点を各々$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．ただし，$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は，円$C$上に反時計回りに$\mathrm{ARPQ}$の順に並ぶようにとる．以下の問題に答えよ．

(1)中点$\mathrm{M}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{Q},\ \mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さを求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{ARPQ}$の面積を$S$とおく．面積$S$を$\theta$を用いて表せ．また，面積$S$が最大となるとき，$\theta$の値と面積$S$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{APQ}$と$\triangle \mathrm{ARP}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ヌ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)整式$P(x)$を$x^2-1$で割ると$1$余り，$x^2+4x+4$で割ると$x+6$余る．$P(x)$を$x^2+x-2$で割ったときの余りを$ax+b$とする．このとき，定数$a,\ b$の値は$a=[サ]$，$b=[シ]$となる．
(2)点$(1,\ 2)$に関して，円$x^2+y^2-8x+10y+k=0$と対称な円が原点を通るように定数$k$を定めると，$k=[ス]$となり，対称な円の中心は$([セ],\ [ソ])$となる．
(3)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta$の値は$[タ]$となり，$\cos^3 \theta-\sin^3 \theta$の値は$[チ]$となる．
(4)$3 \leqq x \leqq 81$のとき，関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^4+5$の最大値と最小値を求めると，$x=[ツ]$のときに最大値$[テ]$をとり，$x=[ト]$のときに最小値$[ナ]$をとる．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+8n$で表されるとき，初項$a_1$は$[ニ]$であり，一般項$a_n$は$[ヌ]$である．

座標平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_0$に，半径$1$の円$C_1$が外接しながらすべることなく回転する．点$\mathrm{A}$を動く円$C_1$の中心とし，点$\mathrm{P}$を円$C_1$の円周上の定点とする．最初，点$\mathrm{A}$は座標$(2,\ 0)$の位置にあり，点$\mathrm{P}$は座標$(1,\ 0)$の位置にある．円$C_1$が円$C_0$の周りを反時計まわりに一周し，点$\mathrm{A}$が座標$(2,\ 0)$に戻ってくるとき，点$\mathrm{P}$のえがく曲線を$C$とする．動径$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の部分から角$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$だけ回転した位置にあるとき，点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標$(x(\theta),\ y(\theta))$について，
\[ x(\theta)=2 \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y(\theta)=2 \sin \theta-\sin 2\theta \]
が成り立つことを示せ．
(2)導関数$\displaystyle \frac{d}{d\theta} x(\theta)$を求め，$x(\theta)$の$\theta$に関する増減表を作成せよ．ただし，凹凸については言及しなくてよい．
(3)曲線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正方形を底面とする四角柱$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を，それぞれ辺$\mathrm{AE}$，辺$\mathrm{BF}$，辺$\mathrm{CG}$上に，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が同一平面上にあるようにとる．四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおく．また，$\angle \mathrm{AOP}$を$\alpha$，$\angle \mathrm{COR}$を$\beta$とおく．

(1)$S$を$\tan \alpha$と$\tan \beta$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{4},\ S=\frac{7}{6}$であるとき，$\tan \alpha+\tan \beta$の値を求めよ．さらに，$\alpha \leqq \beta$のとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
（図は省略）

関数$\displaystyle f(x)=x-\sin x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を考える．曲線$y=f(x)$の接線で傾きが$\displaystyle \frac{1}{2}$となるものを$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式と接点の座標$(a,\ b)$を求めよ．
(2)$a$は$(1)$で求めたものとする．曲線$y=f(x)$，直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた領域を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．