「三角比」について
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国立 京都工芸繊維大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$0<x<2\pi$の範囲において，方程式$\sin 5x=\sin x$の解をすべて求めよ．
(2)$(1)$で求めた解のうちで最小のものを$a$とする．曲線$y=\sin 5x-\sin x (0 \leqq x \leqq a)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$0<x<2\pi$の範囲において，方程式$\sin 5x=\sin x$の解をすべて求めよ．
(2)$(1)$で求めた解のうちで最小のものを$a$とする．曲線$y=\sin 5x-\sin x (0 \leqq x \leqq a)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第6問次の条件$(*)$を満たすような実数$a$で最大のものを求めよ．
\mon[$(*)$] $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲のすべての$x$に対して$\cos x \leqq 1-ax^2$が成り立つ．
\mon[$(*)$] $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲のすべての$x$に対して$\cos x \leqq 1-ax^2$が成り立つ．
国立 信州大学 2015年 第5問次の条件$(*)$を満たすような実数$a$で最大のものを求めよ．
\mon[$(*)$] $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲のすべての$x$に対して$\cos x \leqq 1-ax^2$が成り立つ．
\mon[$(*)$] $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲のすべての$x$に対して$\cos x \leqq 1-ax^2$が成り立つ．
国立 愛知教育大学 2015年 第1問関数
\[ y=(\cos x-\sin x+1) \sin 2x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)$t=\cos x-\sin x$とおくとき，$t$がとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$y$を$t$を用いて表せ．
(3)$y$の最大値・最小値と，そのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．
\[ y=(\cos x-\sin x+1) \sin 2x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)$t=\cos x-\sin x$とおくとき，$t$がとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$y$を$t$を用いて表せ．
(3)$y$の最大値・最小値と，そのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．
国立 愛知教育大学 2015年 第7問$1$辺の長さが$4$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上の点とし，$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ b$（ただし，$0<a<4$，$0<b<4$）とする．
(1)$\cos \angle \mathrm{QPR}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b=2$とし，点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを最大にする点とする．このとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(1)$\cos \angle \mathrm{QPR}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b=2$とし，点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを最大にする点とする．このとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
国立 帯広畜産大学 2015年 第1問数列$\{a_n\}$は初項$a$，公比$r$の等比数列であり，その一般項を$a_n$で表す．また，数列$\{b_n\}$は一般項が$b_n=\log_2 a_n$で定義され，その初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．ただし，$n$は自然数である．次の各問に答えなさい．
(1)$a_2=16$，$b_3=2$とする．
(i) $r,\ a$の値を求めなさい．
(ii) $b_5,\ S_5$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n \geqq 10$を満たす$n$の値をすべて求めなさい．
(2)$\displaystyle a=2^{32},\ \frac{a}{r}=2^{35}$とする．
(i) $r,\ a_{10}$の値を求めなさい．
(ii) $S_n$が最大になるとき，$n$および$S_n$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n<0$を満たす$n$の最小値を求めなさい．
(3)$\displaystyle x>-2,\ \beta=\frac{3\pi}{7},\ \theta=\frac{\pi}{14}$とする．
(i) 次の$3$つの条件を同時に満たす$x$の値を求めなさい．
\[ a=x+2,\quad r=x+3,\quad b_2=1+\log_2 (x+8) \]
(ii) $\log_2 a=\cos^2 \beta+\sin \beta \cos \theta$，$\log_2 r=\sin^2 \beta+\cos \beta \sin \theta$のとき，$b_2$の値を求めなさい．
(iii) $\log_2 a=\sin^2 \theta+\cos \beta \cos \theta$，$\displaystyle \log_2 r^2=\frac{1}{2} \cos 2\theta-\sin \beta \sin \theta$のとき，$b_3$の値を求めなさい．
(1)$a_2=16$，$b_3=2$とする．
(i) $r,\ a$の値を求めなさい．
(ii) $b_5,\ S_5$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n \geqq 10$を満たす$n$の値をすべて求めなさい．
(2)$\displaystyle a=2^{32},\ \frac{a}{r}=2^{35}$とする．
(i) $r,\ a_{10}$の値を求めなさい．
(ii) $S_n$が最大になるとき，$n$および$S_n$の値を求めなさい．
(iii) 不等式$S_n<0$を満たす$n$の最小値を求めなさい．
(3)$\displaystyle x>-2,\ \beta=\frac{3\pi}{7},\ \theta=\frac{\pi}{14}$とする．
(i) 次の$3$つの条件を同時に満たす$x$の値を求めなさい．
\[ a=x+2,\quad r=x+3,\quad b_2=1+\log_2 (x+8) \]
(ii) $\log_2 a=\cos^2 \beta+\sin \beta \cos \theta$，$\log_2 r=\sin^2 \beta+\cos \beta \sin \theta$のとき，$b_2$の値を求めなさい．
(iii) $\log_2 a=\sin^2 \theta+\cos \beta \cos \theta$，$\displaystyle \log_2 r^2=\frac{1}{2} \cos 2\theta-\sin \beta \sin \theta$のとき，$b_3$の値を求めなさい．
国立 秋田大学 2015年 第3問$f(x)=|1+2 \sin 2x|$とする．次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．
国立 秋田大学 2015年 第3問$f(x)=|1+2 \sin 2x|$とする．次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$つの点$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(5,\ 2,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ -5,\ 1)$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を$S$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を求めよ．また，$\cos \angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{C}$から平面$S$に下ろした垂線と平面$S$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$を満たす$s,\ t$を求めよ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を求めよ．また，$\cos \angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{C}$から平面$S$に下ろした垂線と平面$S$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$を満たす$s,\ t$を求めよ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle \log_9 (x+4)=\log_3 (2x-7)+\log_5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}$を解け．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A,\ B$で表すとき，$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{38}{5}$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(1)$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle \log_9 (x+4)=\log_3 (2x-7)+\log_5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}$を解け．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A,\ B$で表すとき，$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{38}{5}$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．