次の問いに答えよ．

(1)$0$以上の整数$n$に対し，$\displaystyle C_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$とおくとき，$\displaystyle C_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}C_n$を示せ．ただし，$\cos^0 x=1$と定める．
(2)座標空間内で，連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad z+2x^2-x^4 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad z \geqq 0 \]
の表す領域の体積を求めよ．

$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$をみたす実数とする．
\[ f(x)=x^2-(2 \cos \theta)x-\sin^2 \theta+\sin \theta+\frac{1}{2} \]
とおくとき，以下の問いに答えなさい．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を求めなさい．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$\theta$の範囲を求めなさい．
(3)$\theta$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S(\theta)$とする．$S(\theta)$を最大にする$\theta$の値と，$S(\theta)$の最大値を求めなさい．

以下の問いに答えよ．

(1)次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \cos (\alpha+\beta) \sin \alpha-\cos \alpha \sin (\alpha-\beta)=\cos 2\alpha \sin \beta \]
(2)$k,\ n$を自然数とし，$\theta$は$\sin \theta \neq 0$を満たすとする．$(1)$の等式で$\alpha=k \theta$，$\beta=\theta$とおくことにより次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta=\frac{\cos (n+1) \theta \sin n \theta}{\sin \theta} \]
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} \cos^2 \frac{k \pi}{100}$の値を求めよ．

\begin{mawarikomi}{50mm}{（図は省略）}
右図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$となる$t$に対して，辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CG}$を$2t:1-2t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{R}$とすると，四角形$\mathrm{OPRQ}$は平行四辺形である．平行四辺形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S$，四角錐$\mathrm{DOPRQ}$の体積を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
\end{mawarikomi}

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ．
(4)$V$は$t$によらず一定であることを示せ．

\begin{mawarikomi}{50mm}{（図は省略）}
右図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$となる$t$に対して，辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CG}$を$2t:1-2t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{R}$とすると，四角形$\mathrm{OPRQ}$は平行四辺形である．平行四辺形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S$，四角錐$\mathrm{DOPRQ}$の体積を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
\end{mawarikomi}

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ．
(4)$V$は$t$によらず一定であることを示せ．

$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}$とし，$\displaystyle f(t)=\int_0^a |\sin x-\sin t| \, dx$とおく．また，$f(t)$の$0<t<a$における最小値を$g(a)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$0<t<a$のとき，$f(t)$を求めよ．
(2)$g(a)$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{g(a)}{a^2}$を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$の範囲で定義された関数$f(x)$は次の等式をみたすとする．
\[ f(x)=2x-\tan x+\int_0^{\frac{\pi}{6}} f(t) \cos t \, dt \]
以下の問いに答えなさい．

(1)不定積分$\displaystyle \int x \cos x \, dx$を求めなさい．
(2)$f(0)$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$における$f(x)$の最大値を求めなさい．

関数$y=\tan x$は，区間$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$で単調増加である．したがって，この区間で逆関数を作ることが出来る．それを
\[ y=\phi(x) \quad (-\infty<x<\infty) \]
と書く（この逆関数を$\mathrm{Arctan} \ x$と書く参考書もある）．正確を期すために，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\phi(x)<\frac{\pi}{2}$としておく．以下の問いに答えよ．ただし，「$-\infty<x<\infty$」は「$x$は実数」という意味である．

(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \log \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \left\{ \phi(\sqrt{2}x+1)+\phi(\sqrt{2}x-1) \right\} \]
とおく．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)積分
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx \]
を求めたい．正確な値は求められないので，以下のようにする．即ち，関数$G(x)$で
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx=G(\sqrt{2}+1) \]
となる関数を求めよ．
(3)積分の等式
\[ \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を示せ．
(4)積分
\[ \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{2x+5}{x+2} (0 \leqq x \leqq 2)$の逆関数を求めよ．また，その定義域を求めよ．
(2)次の関数の導関数を求めよ．
\[ y=\frac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{\sin x}} \]
(3)次の不定積分，定積分を求めよ．


(i) $\displaystyle \int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x}{(2x+1)^2} \, dx$

関数$f(\theta)=\sqrt{2}(\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta)-\cos \theta(\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta)$について次の問いに答えなさい．ただし$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$とする．

(1)$t=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$とおくとき，$t$の値の取りうる範囲を求めなさい．
(2)$\cos \theta (\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta)$を$t$を用いて表しなさい．
(3)関数$f(\theta)$を$t$を用いて表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$の最大値と最小値，および最大値と最小値を与える$t$の値を求めなさい．
(4)関数$f(\theta)$の最大値と最小値，および最大値と最小値を与える$\theta$の値を求めなさい．