「三角比」について
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私立 東邦大学 2016年 第11問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の成分はそれぞれ$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$である．線分$\mathrm{AB}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{BO}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．ただし，$0<t<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}<\cos \theta<\frac{1}{\sqrt{2}}$となる$t$の値の範囲は$\displaystyle 0<t<\frac{[ア]}{[イ]}$である．
私立 北海道薬科大学 2016年 第1問次の各設問に答えよ．
(1)正の実数$a,\ b$が$\sqrt{a^3}-2 \sqrt{b^3}=(ab)^{\frac{3}{4}}$を満たすとき，$a=\sqrt[\mkakko{ア}]{[イウ]}b$である．
(2)方程式$x^2-\sqrt{6}x+1=\sqrt{2}$の解が$\tan \alpha$，$\displaystyle \tan (-\beta) \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$のとき$\displaystyle \alpha-\beta=\frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(3)$\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^x-\left( \frac{1}{4} \right)^{x-1}-\left( \frac{1}{2} \right)^{x-2}+16<0$の解は$[カキ]<x<[クケ]$である．
(4)箱の中に赤玉$5$個，白玉$4$個，黒玉$3$個が入っている．この箱の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[コサ]}{[シス]}$である．
(1)正の実数$a,\ b$が$\sqrt{a^3}-2 \sqrt{b^3}=(ab)^{\frac{3}{4}}$を満たすとき，$a=\sqrt[\mkakko{ア}]{[イウ]}b$である．
(2)方程式$x^2-\sqrt{6}x+1=\sqrt{2}$の解が$\tan \alpha$，$\displaystyle \tan (-\beta) \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$のとき$\displaystyle \alpha-\beta=\frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(3)$\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^x-\left( \frac{1}{4} \right)^{x-1}-\left( \frac{1}{2} \right)^{x-2}+16<0$の解は$[カキ]<x<[クケ]$である．
(4)箱の中に赤玉$5$個，白玉$4$個，黒玉$3$個が入っている．この箱の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[コサ]}{[シス]}$である．
私立 東京女子大学 2016年 第8問$xy$平面において，連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq 2\pi,\quad \cos x \leqq y \leqq \sin x \]
の表す領域を$D$とおく．また，$D$のうち$y \geqq 0$の部分を$E$とおく．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)領域$D$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$E$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
\[ 0 \leqq x \leqq 2\pi,\quad \cos x \leqq y \leqq \sin x \]
の表す領域を$D$とおく．また，$D$のうち$y \geqq 0$の部分を$E$とおく．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)領域$D$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$E$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
私立 東京医科大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)任意の正の数$t$に対して，座標平面上の$3$点$\mathrm{P}_t(3-t,\ 6+2t)$，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 6)$を頂点とする三角形$\mathrm{P}_t \mathrm{OA}$を考える．$\angle \mathrm{P}_t \mathrm{OA}=\theta_t$とすれば，
\[ \lim_{t \to \infty} \cos \theta_t=\frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(2)$a$を正の定数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2+ax+4a=0$の$1$つの解が他の解の$4$倍であるとき，
\[ a=[ウエ] \]
である．
(1)任意の正の数$t$に対して，座標平面上の$3$点$\mathrm{P}_t(3-t,\ 6+2t)$，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 6)$を頂点とする三角形$\mathrm{P}_t \mathrm{OA}$を考える．$\angle \mathrm{P}_t \mathrm{OA}=\theta_t$とすれば，
\[ \lim_{t \to \infty} \cos \theta_t=\frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(2)$a$を正の定数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2+ax+4a=0$の$1$つの解が他の解の$4$倍であるとき，
\[ a=[ウエ] \]
である．
私立 昭和薬科大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)赤球と白球を合わせて$13$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．$2$個の球が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{7}{13}$であるとき，この袋には$[ア]$個の赤球が入っている．ただし，赤球の個数は白球の個数より多いとする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形であり，$\mathrm{BC}=2$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(3)不等式$\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(2x-3)^2} \leqq 4$の解は$\displaystyle [エ] \leqq x \leqq \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(4)分母が$12$である正の既約分数を値が小さい順に並べた数列
\[ \frac{1}{12},\ \frac{5}{12},\ \frac{7}{12},\ \frac{11}{12},\ \frac{13}{12},\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_4=[キ]$及び$S_8=[ク]$であり，
$\displaystyle S_{39}=\frac{\kakkofour{ケ}{コ}{サ}{シ}}{[ス][セ]}$である．
(5)$\displaystyle \left( \displaystyle\frac{1}{45} \right)^{100}$を小数で表したとき，小数第$[ソ][タ][チ]$位に初めて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(6)$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_1^x y^2(y-3) \, dy$は$x=[ツ]$のとき最小値$[テ][ト]$をとる．
(1)赤球と白球を合わせて$13$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．$2$個の球が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{7}{13}$であるとき，この袋には$[ア]$個の赤球が入っている．ただし，赤球の個数は白球の個数より多いとする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形であり，$\mathrm{BC}=2$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(3)不等式$\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(2x-3)^2} \leqq 4$の解は$\displaystyle [エ] \leqq x \leqq \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(4)分母が$12$である正の既約分数を値が小さい順に並べた数列
\[ \frac{1}{12},\ \frac{5}{12},\ \frac{7}{12},\ \frac{11}{12},\ \frac{13}{12},\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_4=[キ]$及び$S_8=[ク]$であり，
$\displaystyle S_{39}=\frac{\kakkofour{ケ}{コ}{サ}{シ}}{[ス][セ]}$である．
(5)$\displaystyle \left( \displaystyle\frac{1}{45} \right)^{100}$を小数で表したとき，小数第$[ソ][タ][チ]$位に初めて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(6)$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_1^x y^2(y-3) \, dy$は$x=[ツ]$のとき最小値$[テ][ト]$をとる．
私立 中京大学 2016年 第7問次の$2$つの定積分を求めると，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3 \sin 3x \, dx=[ア],\quad \int_0^{\frac{\pi}{2}} tx^2 \sin x \, dx=\left( \pi-[イ] \right)t \]
であり，定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left\{ 3 \sin 3x-tx^2 \sin x+(t-1)^2 \right\} \, dx$の最小値は
\[ -\frac{[ウ]}{[エ]} \pi-\frac{[オ]}{\pi}+[カ] \]
である．ただし，$t$は実数とする．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3 \sin 3x \, dx=[ア],\quad \int_0^{\frac{\pi}{2}} tx^2 \sin x \, dx=\left( \pi-[イ] \right)t \]
であり，定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left\{ 3 \sin 3x-tx^2 \sin x+(t-1)^2 \right\} \, dx$の最小値は
\[ -\frac{[ウ]}{[エ]} \pi-\frac{[オ]}{\pi}+[カ] \]
である．ただし，$t$は実数とする．
私立 神奈川大学 2016年 第1問次の空欄を適当に補え．
(1)$1$から$210$までの自然数で，$3$の倍数でも$5$の倍数でもない自然数の個数は，$[ア]$個ある．
(2)$a>0$で，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}=3$であるとき，$\displaystyle a^3+\frac{1}{a^3}=[イ]$である．
(3)赤球$6$個，白球$3$個，青球$2$個が入っている袋から$3$個の球を同時に取り出す．取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は，$[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \tan \frac{5}{4} \pi$の値は$[エ]$で，$\displaystyle \tan \frac{5}{8} \pi$の値は$[オ]$である．
(1)$1$から$210$までの自然数で，$3$の倍数でも$5$の倍数でもない自然数の個数は，$[ア]$個ある．
(2)$a>0$で，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}=3$であるとき，$\displaystyle a^3+\frac{1}{a^3}=[イ]$である．
(3)赤球$6$個，白球$3$個，青球$2$個が入っている袋から$3$個の球を同時に取り出す．取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は，$[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \tan \frac{5}{4} \pi$の値は$[エ]$で，$\displaystyle \tan \frac{5}{8} \pi$の値は$[オ]$である．
私立 広島国際学院大学 2016年 第5問不等式$2 \cos^2 \theta+5 \sin \theta-4>0 (0 \leqq \theta<2\pi)$を解きなさい．
私立 広島工業大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$は実数とする．$3$次方程式$x^3+x^2+ax+b=0$が$1+i$を解にもつとき，$a,\ b$の値を求めよ．また他の解を求めよ．
(2)関数$y=\cos^2 \theta-4 \sin \theta+7$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)初項$\displaystyle \frac{2}{3}$，公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列$\{a_n\}$を考える．初項から第$n$項までの和$S_n$が$0.998$を超える最小の自然数$n$を求めよ．
(1)$a,\ b$は実数とする．$3$次方程式$x^3+x^2+ax+b=0$が$1+i$を解にもつとき，$a,\ b$の値を求めよ．また他の解を求めよ．
(2)関数$y=\cos^2 \theta-4 \sin \theta+7$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)初項$\displaystyle \frac{2}{3}$，公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列$\{a_n\}$を考える．初項から第$n$項までの和$S_n$が$0.998$を超える最小の自然数$n$を求めよ．
私立 神奈川大学 2016年 第1問次の空欄を適当に補え．
(1)方程式$x^2+y=63$を満たす自然数の組$(x,\ y)$は$[ ]$組ある．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-2,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(2,\ -1)$がある．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{c}$と平行となるのは$t=[ ]$のときである．
(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．不等式$\sqrt{3} \sin x+\cos x>\sqrt{3}$を解くと，$x$の値の範囲は$[ ]$である．
(4)$S=1+2r^2+3r^4+4r^6+\cdots +10r^{18}$とする．$r=\sqrt{2}$のとき，$S$の値を求めると$[ ]$である．
(5)赤，青，黄のカードが$2$枚ずつある．この$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人に$2$枚ずつ配るとき，どの人の$2$枚についてもその色が異なる確率は$[ ]$である．
(6)複素数平面で，方程式
\[ z \overline{z}-iz+i \overline{z}-9=0 \]
で定まる円の中心を表す複素数は$[ ]$であり，半径は$[ ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(1)方程式$x^2+y=63$を満たす自然数の組$(x,\ y)$は$[ ]$組ある．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-2,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(2,\ -1)$がある．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{c}$と平行となるのは$t=[ ]$のときである．
(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．不等式$\sqrt{3} \sin x+\cos x>\sqrt{3}$を解くと，$x$の値の範囲は$[ ]$である．
(4)$S=1+2r^2+3r^4+4r^6+\cdots +10r^{18}$とする．$r=\sqrt{2}$のとき，$S$の値を求めると$[ ]$である．
(5)赤，青，黄のカードが$2$枚ずつある．この$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人に$2$枚ずつ配るとき，どの人の$2$枚についてもその色が異なる確率は$[ ]$である．
(6)複素数平面で，方程式
\[ z \overline{z}-iz+i \overline{z}-9=0 \]
で定まる円の中心を表す複素数は$[ ]$であり，半径は$[ ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．